为什么数学上的光滑曲线不仅处处连续可导,导数也要处处连续可导

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/10 20:06:52

若函数f(x)在区间(a,b)内具有一阶连续导数,则其图形为一条处处有切线的曲线,且切线随切点的移动而连续转动,这样的曲线称为光滑曲线.

与光滑曲线相对应的就是折线,
考虑折线
y = x (x∈(-∞,0))
y = -x(x∈[0,∞))
此折线,处处连续且可导,但在x=0这一点附近,
x→0- 时,其导数为1
x→0+ 时,其导数为-1
其导数不连续
再问：你给的这个折线不是处处连续可导的啊。。它在0处不可导的
再答：那么再考虑一下下面的函数吧： y = x*x/2 (x∈(-∞,0)) y = -x*x/2(x∈[0,∞)) 处处连续可导，其一阶导数，就是前面的函数，因此它也不是光滑曲线再考虑 y = -x^3，其形状与上面的函数形状很象，但是其导数 y' = -3x^2 处处连续可导，因此是光滑曲线。这两个图形你可以做出来看一下，就可以看出来它们在 x=0处的不同了，前一个函数会很生硬，虽然它在x=0处可导
再问：可是感觉y = x*x/2 (x∈(-∞,0)) y = -x*x/2(x∈[0,∞)) 这也应该算光滑曲线了吧。。
再答：因为对于一条曲线来说，其一阶导数确定了它的增减性，其二阶导数确定了它的凹凸性，因此说曲线光滑就是说它的增减性连续，它的凹凸性也连续。不过在实际应用中，如果对其凹凸性连续不要求的话，也可以近似地认为上面的曲线是光滑的，但严格的讲，其凹凸性也应连续。最直接的例子，就是如果滑梯按y=-x^3设计的话，你从上面滑下来就不会感觉有突兀的地方，但是如果按y = ±x^2设计的话，你就会在连接处感觉跳了一下，呵呵

为什么数学上的光滑曲线不仅处处连续可导,导数也要处处连续可导处处可导的函数的一阶导数连续吗?为什么? 开区间上处处可导但导函数处处不连续的函数是否存在? 证明是否存在函数,满足：“处处可导,但导函数处处不连续的” 原函数在闭区间上处处可导,一节导函数连续” 有没有这样的函数?函数（假设定义域是全体实数）处处可导,但是导数任何地方不连续.如果没有的话，也要说下原因。回复楼下：可一个连续函数处处可导,而它的导函数不一定连续,能不能举个例子? 什么函数处处连续处处不可导外尔斯特拉斯的处处连续处处不可导函数哪些函数是处处连续处处不可导的? 谁能找一个处处连续处处不可导的函数!一定要把图象也一起给我! 1：连续可导函数的导数一定连续吗?