作业帮证明是否存在函数,满足：“处处可导,但导函数处处不连续的”
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/10 12:12:45
证明是否存在函数,满足：“处处可导,但导函数处处不连续的”
因为已经知道了，有一种“处处连续，但处处不可导”的函数，但网上找不到关于这种函数是否存在的论证
因为已经知道了，有一种“处处连续，但处处不可导”的函数，但网上找不到关于这种函数是否存在的论证
结论是否定的.事实上,闭区间I上可导函数的导函数的连续点集必然是I上的稠密集!
可参见周民强著《实变函数论》55页思考题5. 大致思路如下：
首先,记f_n(x)=n[f(x+1/n)-f(x)],则f_n是连续函数.由于f处处可导,对每个x∈I, f_n(x)->f‘(x). 这样f'就是一个连续函数列的极限函数.
然后用实变里常用的分割集合的技术,可以证明：f'的不连续点集包含于一列无内点闭集的并（从而是第一纲集）.因此f'的连续点集包含一列稠密开集的交,也是稠密集.
再问： 太深的我也不会啊，其实只是想问个大概思路，知道有没有定论而已： 1.稠密集是不是就是Gδ集啊？ 2.稠密开集合的交非空？？ 3.无内点闭集是零测集吗？
再答： 以下讨论都是在欧氏空间上进行。 1. 不是。稠密集是指其闭包是全集；Gδ型集是指“能表为可数个开集之交”的集合。 2. 是的！不但如此，其交还必须是稠密集。可用Baire纲定理证明。 3. 不是。零测集是指测度为0的集合。 如果没接触过实变函数和拓扑的话，这些概念恐怕不太好理解。但结论是肯定的。
再问： 哦， 无内点闭集和零测集没有必然联系？
再答： 没有的说~比如类Cantor集（Harnack集），就是一类非空无内点的闭集，测度>0.
可参见周民强著《实变函数论》55页思考题5. 大致思路如下：
首先,记f_n(x)=n[f(x+1/n)-f(x)],则f_n是连续函数.由于f处处可导,对每个x∈I, f_n(x)->f‘(x). 这样f'就是一个连续函数列的极限函数.
然后用实变里常用的分割集合的技术,可以证明：f'的不连续点集包含于一列无内点闭集的并（从而是第一纲集）.因此f'的连续点集包含一列稠密开集的交,也是稠密集.
再问： 太深的我也不会啊，其实只是想问个大概思路，知道有没有定论而已： 1.稠密集是不是就是Gδ集啊？ 2.稠密开集合的交非空？？ 3.无内点闭集是零测集吗？
再答： 以下讨论都是在欧氏空间上进行。 1. 不是。稠密集是指其闭包是全集；Gδ型集是指“能表为可数个开集之交”的集合。 2. 是的！不但如此，其交还必须是稠密集。可用Baire纲定理证明。 3. 不是。零测集是指测度为0的集合。 如果没接触过实变函数和拓扑的话，这些概念恐怕不太好理解。但结论是肯定的。
再问： 哦， 无内点闭集和零测集没有必然联系？
再答： 没有的说~比如类Cantor集（Harnack集），就是一类非空无内点的闭集，测度>0.