一道分段函数的证明题设 f(x)={x^4sin^2(1/x) x不等于0{0 x=0证明x=0是极小值点,极小值点x=
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/05/15 17:06:16
一道分段函数的证明题
设 f(x)={x^4sin^2(1/x) x不等于0
{0 x=0
证明x=0是极小值点,极小值点x=0处是否满足极值的第一或第二充分条件?
设 f(x)={x^4sin^2(1/x) x不等于0
{0 x=0
证明x=0是极小值点,极小值点x=0处是否满足极值的第一或第二充分条件?
我来给你证,如下:
先来求一下,f’(0)
从定义出发,因为x=0是个分断点.f(0)=0
f’(0)=(x->0)lim[f(x)-f(0)}/x=(x->0)limf(x)/x=(x->0)lim[x^4sin^2(1/x)]/x=(x->0)lim[x^3sin^2(1/x)]=0(x^3为无穷小,sin为有限量)
说明,x=0是连续的
再来看一下,左导数,和右导数,从定义出发:
左导数=(x->0-)lim[f(0+x)-f(0)]/x=(x->0-)lim[x^3sin^2(1/x)]=0-0+)lim[f(0+x)-f(0)]/x=(x->0+)lim[x^3sin^2(1/x)]=0+>0
所以在0的邻域内,左邻域中导数0.所以x=0是极小值点.
证毕!
上述过程就是用的第二充分条件
x=0极小值点x=0一定满足第二充分条件.
对于,第二充分条件是不是也满足,我给你个思路:
一,证明f’(0)=0.二,证明,f’(x)在x=0点连续.三,证明f’’(0)是不是大于0
先来求一下,f’(0)
从定义出发,因为x=0是个分断点.f(0)=0
f’(0)=(x->0)lim[f(x)-f(0)}/x=(x->0)limf(x)/x=(x->0)lim[x^4sin^2(1/x)]/x=(x->0)lim[x^3sin^2(1/x)]=0(x^3为无穷小,sin为有限量)
说明,x=0是连续的
再来看一下,左导数,和右导数,从定义出发:
左导数=(x->0-)lim[f(0+x)-f(0)]/x=(x->0-)lim[x^3sin^2(1/x)]=0-0+)lim[f(0+x)-f(0)]/x=(x->0+)lim[x^3sin^2(1/x)]=0+>0
所以在0的邻域内,左邻域中导数0.所以x=0是极小值点.
证毕!
上述过程就是用的第二充分条件
x=0极小值点x=0一定满足第二充分条件.
对于,第二充分条件是不是也满足,我给你个思路:
一,证明f’(0)=0.二,证明,f’(x)在x=0点连续.三,证明f’’(0)是不是大于0
一道分段函数的证明题设 f(x)={x^4sin^2(1/x) x不等于0{0 x=0证明x=0是极小值点,极小值点x=
证明:f(x)的二阶导数存在,且f(2)=0,f '(2)=1,则x=2是函数F(x)=(x-2)^2f(x)的极小值点
设函数f(x)=x分之2+Inx,求f(x)的极小值点
设f(x)在x=0处连续,且lim(x趋于0)f(x)/x^2=1 ,证明函数f(x)在x=0处可导且取得极小值.
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