函数f(x)与xf(x)在[a,b]上连续,且f(x)与xf(x)在[a,b]上的定积分都==0,

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/10 13:52:59

函数f(x)与xf(x)在[a,b]上连续,且f(x)与xf(x)在[a,b]上的定积分都==0,
证明:f(x)在[a,b]上至少存在两个不同点m,n使得f(x)=0

假设f(x)在（a,b）上恒不等于0,则f(x)在（a,b）内恒正或恒负,根据积分不等式性质有 f（x）在（a,b）上的积分要么大于0,要么小于0.
这与f(x)在[a,b]上的定积分==0矛盾.故存在一点x1在（a,b）上,使f（x1）=0.
假设 f（x）在（a,b）内有一个零点x1,则 f(x)在[a,b]上的定积分是等于f（x）在（a,x1）上的定积分加上 f（x）在（x1,b）上的定积分
且f（x）在（a,x1）与（x1,b）每个区间内不变号.故有 f（x）在（a,x1）上的定积分与 f（x）在（x1,b）上的定积分互为相反数,而且不等于0.
从而f（x）在x1两边异号,所以 g（x）=（x - x1）×f（x）在两边同号,即g（x）在（a,b）内除一个零点x1外恒正或恒负,由g（x）的连续性可得
g（x）在[a,b]上的定积分不等于零.但是 g（x）在[a,b]上的定积分是等于 xf(x)在[a,b]上的定积分加上 x1倍的f(x)在[a,b]上的定积分,那么 g在[a,b]的定积分等于0.
矛盾,故在（a,b）内至少存在两点m,n,使得f(x)=0
打得密密麻麻,可能比较难看,抱歉!

函数f(x)与xf(x)在[a,b]上连续,且f(x)与xf(x)在[a,b]上的定积分都==0, 设f(x)在[a,b]上连续,f(a)=f(b)=0,定积分f^2(x)从b到a等于1,则定积分xf(x)f'(x)=- 设f(x)在[a,b]上连续,f(a)=f(b)=0,定积分f^2(x)从b到a等于1,则定积分xf(x)f'(x)等于定积分的证明设函数f(x)在[a,b]上连续且单调递增,求证：∫[b,a] xf(x)dx≥[(a+b)/2]∫[b,a 一道定积分的证明题若f(x)在[a,b]上有界并可积,则G(x)=∫0xf(t)dt在[a,b]上连续.（即f(t)在0 设f(x)在[a,b]上有连续的导数,且f(x)不恒等于0,f(a)=f(b)=0,证明∫(a,b)xf(x)f'(x) 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续且定积分{上限a,下限b}f(x)dx=0,证明在[a,b]上至少如图,曲线段方程是y=f(x),函数f(x)在区间【0,a】上有连续的导数,则定积分 0到a：xf'(x)dx等于曲边三函数f(x)zai [0,1]上连续,证明在区间0到π内,定积分xf(sinx)=定积分π/2f(sinx） F(x)等于xF(t)在[0,X ]上的定积分,求F(x)导数设函数f(x)在【a,b】上连续且单调增加,求证∫[a ,b] xf(x)dx >=a+b/2∫[a ,b] f(x)d f(x)是定义在（0,+∞）上的非负可导函数,且满足xf′(x)-f(x)≤0,对任意正数a,b,若a