如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，E、F分别是PB、CD的中点，且PB=PC

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/22 08:44:31

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，E、F分别是PB、CD的中点，且PB=PC=PD=4．
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）求证：EF∥平面PAD；
（3）求二面角A-PB-C的余弦值．

（1）证明：取BC的中点M，连结AM，PM．
∵AB=BC，∠ABC=60°，∴△ABM为正三角形，∴AM⊥BC．
又PB=PC，∴PM⊥BC，AM∩PM=M，
∴BC⊥平面PAM，PA⊂平面PAM，∴PA⊥BC，
同理可证PA⊥CD，
又BC∩CD=C，∴PA⊥平面ABCD．…（4分）．
（2）证明：取PA的中点N，连结EN，ND．
∵PE=EB，PN=NA，∴EN∥AB，且EN＝
1
2AB．
又FD∥AB，且FD＝
1
2AB，∴EN

∥
.
.DF，
∴四边形ENDF是平行四边形，
∴EF∥ND，而EF⊄平面PAD，ND⊂平面PAD，
∴EF∥平面PAD．…（8分）
（3）取AB的中点G，过G作GH⊥PB于点H，连结HC，GC．
则CG⊥AB，又CG⊥PA，PA∩AB=A，
∴CG⊥平面PAB．∴HC⊥PB，
∴∠GHC是二面角A-PB-C的平面角．
在Rt△PAB中，AB=2，PB=4，∴PA＝2
3．
又Rt△BHG∽Rt△BAP，∴
HG
PA＝
BG
PB，∴HG＝

3
2．
在Rt△HGC中，可求得GC＝
3，
∴HC＝

15
2，∴cos∠GHC＝

5
5，
故二面角A-PB-C的余弦值为

5
5．…（12分）．

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，E、F分别是PB、CD的中点，且PB=PC 如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E,F分别是BC,PC的中点如图在四棱锥P-ABCD中,底面为矩形ABCD,E,F分别为AB,PC的中点,且PD=PE,PB= 已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形，且∠ABC=60°，PA=PC=2，PB=PD．如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E,F分别是BC,PC的中如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E、F分别是AB、PB的中点．如图,在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中,∠BDA=60°,PA=PD,E为PC的中点.（2）求证：PB⊥BC 如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA垂直面ABCD,角ABC=60度,E.F分别是BC.PC的中点已知四棱锥p-abcd中,底面abcd为菱形pa⊥平面abcd,∠abc=60度,e,f分别是bc,pc的中点如图：在底面为菱形的四棱锥P-ABCD中,PA=PC.PD=PB,点E是PD的中点.求证：AC垂直PB,PB平行面AEC 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是菱形，PA=PC，E为PB的中点．如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC，PC的中点．