已知椭圆C:X2/A2+Y2/B2=1(A>B>0)的离心率为根号2/2,且曲线果点(1,根号2/2)

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/18 00:47:56

已知椭圆C:X2/A2+Y2/B2=1(A>B>0)的离心率为根号2/2,且曲线果点(1,根号2/2)
1 .求椭圆C方程
2.已知直线X-Y+M=0与椭圆交于不同的两点A.B,切线段A B的中点不在圆X2+Y2=5/9内求M得取值范围

第一个问题：题目中的“果”应该是“过”.
∵椭圆过点（1,√2/2）,　∴1/a^2＋（1/2）/b^2＝1,　∴2b^2＋a^2＝2a^2b^2.
∵e＝c/a＝√2/2,　∴√（a^2－b^2）/a＝√2/2,　∴（a^2－b^2）/a^2＝1/2,
∴2a^2－2b^2＝a^2,　∴a^2＝2b^2.
联立：2b^2＋a^2＝2a^2b^2、a^2＝2b^2,消去a,得：2b^2＋2b^2＝4b^4,　∴b^2＝1.
将b^2＝1代入a^2＝2b^2中,得：a^2＝2.
∴满足条件的椭圆方程为x^2/2＋y^2＝1.
第二个问题：题目中的“切”应该是“且”.
令AB的中点为D.
改写直线方程,得：y＝x＋M.
∵A、B都在直线y＝x＋M上,　∴可令A、B的坐标分别是（m,m＋M）、（n,n＋M）.
联立：x^2/2＋y^2＝1、x－y＋M＝0,消去y,得：x^2/2＋（x＋M）^2＝1,
x^2＋2x^2＋4Mx＋2M^2－2＝0,　∴3x^2＋4Mx＋2M^2－2＝0.　显然,m、n是该方程的根,
∴由韦达定理,有：m＋n＝4M/3.
由中点坐标公式,容易得出：AB的中点坐标为D（2M/3,5M/3）.
∵D不在圆x^2＋y^2＝5/9内,　∴OD≧√5/3,　∴√［（2M/3）^2＋（5M/3）^2］≧√5/3,
∴√29｜M｜≧√5,　∴｜M｜≧√5/√29＝√145/29,　∴M≦－√145/29,　或M≧√145/29.
∴满足条件的M的取值范围是（－∞,－√145/29）∪（√145/29,＋∞）.

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