作业帮秦九韶公式的推导,怎么来着?
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/11 05:08:39
秦九韶公式的推导,怎么来着?
三角形ABC,三边长a,b,c
证明当p＝1／2(a＋b＋c）时,三角形面积为S△＝√p(p－a)(p－b)(p－c)
S=1/2*absinC （正弦面积公式,可以推导）
=1/2*ab√[1-(cosC)²]
因为1-(cosC)²=1-[(a²+b²-c²)/(2ab)]² -------余弦公式cosC=a²+b²-c²)/(2ab）
所以
S=[(2ab)²-(a²+b²-c²)^2]/(2ab)²
=(2ab+a²+b²-c²)(2ab-a²-b²+c²)/(2ab)²
=[(a+b)²-c²]{c²-(a-b)²]/(2ab)²
=(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)/[4(ab)²]
=4*(a+b+c)/2*(a+b-c)/2*(c+a-b)/2*(b+c-a)/2]/(ab)²
又因为p=(a+b+c)/2--->(a+b-c)/2=(a+b+c)/2-c=p-c;(c+a-b)/2)=p-b;(b+c-a)/2=p-a
S=1/2*ab*√[4p(p-a)(p-b)(p-c)/(ab)²]
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
证明当p＝1／2(a＋b＋c）时,三角形面积为S△＝√p(p－a)(p－b)(p－c)
S=1/2*absinC （正弦面积公式,可以推导）
=1/2*ab√[1-(cosC)²]
因为1-(cosC)²=1-[(a²+b²-c²)/(2ab)]² -------余弦公式cosC=a²+b²-c²)/(2ab）
所以
S=[(2ab)²-(a²+b²-c²)^2]/(2ab)²
=(2ab+a²+b²-c²)(2ab-a²-b²+c²)/(2ab)²
=[(a+b)²-c²]{c²-(a-b)²]/(2ab)²
=(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)/[4(ab)²]
=4*(a+b+c)/2*(a+b-c)/2*(c+a-b)/2*(b+c-a)/2]/(ab)²
又因为p=(a+b+c)/2--->(a+b-c)/2=(a+b+c)/2-c=p-c;(c+a-b)/2)=p-b;(b+c-a)/2=p-a
S=1/2*ab*√[4p(p-a)(p-b)(p-c)/(ab)²]
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]