作业帮一道高一的关于函数基本性质的题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/22 16:40:21
一道高一的关于函数基本性质的题
已知函数f(x)=x^2+1,且g(x)=f[f(x)],G(x)=g(x)-入f(x),试问是否存在实数 入 ,使得G(x)在（ 负无穷到-1】上为减函数,并且在（-1,0）上为增函数
请给出详细解答过程
这类型的题我没有思路
已知函数f(x)=x^2+1,且g(x)=f[f(x)],G(x)=g(x)-入f(x),试问是否存在实数 入 ,使得G(x)在（ 负无穷到-1】上为减函数,并且在（-1,0）上为增函数
请给出详细解答过程
这类型的题我没有思路
先把 g(x) 的形式具体写出来
g(x) = f[f(x)] = [f(x)]^2 + 1 = (x^2 +1)^2 + 1
= x^4 + 2x^2 + 2
G(x) = g(x)-入f(x)
= x^4 + 2x^2 + 2 - λ(x^2 + 1)
= x^4 + (2-λ)x^2 + 2-λ
配方
G(x) = x^4 + 2*[(2-λ)/2] x^2 + [(2-λ)/2]^2 - [(2-λ)/2]^2 + (2-λ)
= [x^2 + (2-λ)/2]^2 + ……
这是一个偶函数.关于y轴对称.
G(x)在（ 负无穷到-1】上为减函数,并且在（-1,0）上为增函数
根据偶函数,则 G(x) 在 [0,1]上是减函数,在 [1 ,正无穷）上是增函数.
为了保证上述两性质,则
(2-λ)/2 = -1
(2-λ) = -2
λ = 4
g(x) = f[f(x)] = [f(x)]^2 + 1 = (x^2 +1)^2 + 1
= x^4 + 2x^2 + 2
G(x) = g(x)-入f(x)
= x^4 + 2x^2 + 2 - λ(x^2 + 1)
= x^4 + (2-λ)x^2 + 2-λ
配方
G(x) = x^4 + 2*[(2-λ)/2] x^2 + [(2-λ)/2]^2 - [(2-λ)/2]^2 + (2-λ)
= [x^2 + (2-λ)/2]^2 + ……
这是一个偶函数.关于y轴对称.
G(x)在（ 负无穷到-1】上为减函数,并且在（-1,0）上为增函数
根据偶函数,则 G(x) 在 [0,1]上是减函数,在 [1 ,正无穷）上是增函数.
为了保证上述两性质,则
(2-λ)/2 = -1
(2-λ) = -2
λ = 4