作业帮关于高一数学指数函数性质的一道题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/14 23:14:49
关于高一数学指数函数性质的一道题
设a＞0,f(x)=e^x/a+a/e^x是R上的偶函数,求a的值.
设a＞0,f(x)=e^x/a+a/e^x是R上的偶函数,求a的值.
因为f(x)是偶函数
所以 f(x) = f(-x)
f(x)=e^x/a + a/e^x =f(-x)= e^(-x)/a + a/e^(-x)
e^x/a + a/e^x = 1/[a*e^x] + a*e^x
e^x(1/a -a) + (a - 1/a)/e^x = 0
(e^x - 1/e^x)(1/a - a) = 0
因为只有x=0时,e^x - 1/e^x =0
所以要对于任意x都成立,则
1/a - a = 0
a^2 = 1
因为a> 0
所以 a = 1
所以 f(x) = f(-x)
f(x)=e^x/a + a/e^x =f(-x)= e^(-x)/a + a/e^(-x)
e^x/a + a/e^x = 1/[a*e^x] + a*e^x
e^x(1/a -a) + (a - 1/a)/e^x = 0
(e^x - 1/e^x)(1/a - a) = 0
因为只有x=0时,e^x - 1/e^x =0
所以要对于任意x都成立,则
1/a - a = 0
a^2 = 1
因为a> 0
所以 a = 1