作业帮已知函数f（x）=lg1+x1−x
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/15 19:23:23
已知函数f（x）=lg
| 1+x |
| 1−x |
（I）证明：∵f（x）=lg
1+x
1−x
∴f（a）+f（b）=lg
1+a
1−a+lg
1+b
1−b=lg(
1+a
1−a×
1+b
1−b)=lg
1+a+b+ab
1−a−b+ab
f（
a+b
1+ab）=lg
1+
a+b
1+ab
1−
a+b
1+ab=lg
1+a+b+ab
1−a−b+ab
∴对于f（x）的定义域内的任意两个实数a，b，都有f（a）+f（b）=f（
a+b
1+ab）；
（II）函数f（x）=lg
1+x
1−x的定义域为（-1，1）
∵f（-x）=lg
1−x
1+x=lg(
1+x
1−x)−1=-lg
1+x
1−x=-f（x）
∴函数f（x）是奇函数．
1+x
1−x
∴f（a）+f（b）=lg
1+a
1−a+lg
1+b
1−b=lg(
1+a
1−a×
1+b
1−b)=lg
1+a+b+ab
1−a−b+ab
f（
a+b
1+ab）=lg
1+
a+b
1+ab
1−
a+b
1+ab=lg
1+a+b+ab
1−a−b+ab
∴对于f（x）的定义域内的任意两个实数a，b，都有f（a）+f（b）=f（
a+b
1+ab）；
（II）函数f（x）=lg
1+x
1−x的定义域为（-1，1）
∵f（-x）=lg
1−x
1+x=lg(
1+x
1−x)−1=-lg
1+x
1−x=-f（x）
∴函数f（x）是奇函数．