∠ABC=∠BAC=70°,P为三角形内一点

证明：取BC的中点D,连接PD∵PB=PC∴PD⊥BC（等腰三角形三线合一）∴PB^2=PD^2+BD^2∵∠BAC=90°∴AD=1/2BC=BD ∵PA=PB∴PA^2=PD^2+AD^

证明：（1）∵BQ是∠ABC的角平分线，∴∠QBC=12∠ABC．∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，且∠BAC=60°，∠ACB=40°，∴∠ABC=80°，∴∠QBC=12×80°=40°，

证明：做辅助线PM‖BQ,与QC相交与M.（首先算清各角的度数）∵∠APB=180°—∠BAP—∠ABP=180°—30°—80°=70°且∠APM=180°—∠APB—∠MPC=180°—70°—∠

（1）在平面APB上作PD⊥AB,∵平面PAB⊥平面ABC,∴PD⊥平面ABC,AD是AP在平面ABC的射影,而BC⊥AB,即BC⊥AD,根据三垂线逆定理,∴PA⊥BC.（2

连接AP,作PN垂直于AB,PM垂直于CB,PQ垂直于AC.因为BD,CE为角平分线所以PN=PM=PQ因为PN=PQ,所以AP平分∠CAB

∵PA=PB=PC,∴P在底面的射影O是底面三角形的外心.∵底面三角形是直角三角形,∴O是斜边AC的中点.因此,PO就是所求距离.由∠ABC=90°,∠BAC=30°,BC=5,∴AC=10,∴PO=

如图，取AB、AC的中点M、N，连接PM，PN，MN，则PA=AM=AN=a，由∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°，得：PM=PN=MN=a，∴三棱锥P-AMN是棱长为a的正四面体，它的体积为，VP

(1)∵∠CAD=30°,AC=AD∴∠CDA=∠ACD=(180°-30°)/2=75°∵∠DAB=∠BAC-∠CAD=60°,AD=AB∴∠ADB=∠ABD=(180°-60°)/2=60°故∠B

（1）证明：∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，且BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，∵PA⊂平面PAB，∴PA⊥BC；又∵PA⊥PB，PB∩BC=B∴PA⊥平面PBC．…..4（2）

容易看出：角OBC=40=角C所以BO=COAO+BO=AC延长AB,使BK=BP先求出角AKP=40度再求出三角形AKP全等于三角形ACP（角角边）AB+BP=AK=AC=AO+BO

因为PA=PB=PC，则它们在平面ABC的射影相等，P在ABC平面射影应在三角形ABC的外心，而三角形ABC是直角三角形，故外心应在斜边的中点D上，PD⊥底面ABC，∠BAC=30°，AC=2BC=1

像这种求最小距离的一般都是用对称做解在AC上取一点K并使KA=NA那么容易证得△AKM≌△AKN（SAS）就有KM=MN再连接BK在△BMK中根据两边之和大于第三边有BM+MK＞BK而只有当BMK不再

延长AB到D,使BD＝BP,连接PD根据已知条件∠BAC=60度,∠ACB=40度得：∠PBD＝100°,所以∠D＝40°＝∠ACB因为AP平分∠BAC所以∠PAD＝∠PAC因为AP＝AP所以△PAD

本题关键一是理解条件P是△ABC所在平面外一点,PA=PB=PC,由这个可得P在△ABC所在平面的射影是这个三角形的外心.二是直角三角形的外心是斜边的中点于是设D是BC的中点那么PD垂直于平面ABC所

以A为原点建立直角坐标系

这是在解三角形时余弦定理的应用（已知三角形的三条边,求角）

如图

作PO⊥平面ABC，交平面于O点，∵PA=PB=PC，OA=OB=OC，斜线相等，射影也相等．O点为三角形ABC外心，在三角形ABC中，据余弦定理，BC=21，再据正弦定理，asinA＝2R（R为外接

证明：（1）∵P是∠BAC的平分线AD上一点∴∠BAD=∠CAD在三角形ABD与三角形ACD中,∵AB=AC,AD=AD,∠BAD=∠CAD,∴△ABD≌△ACD（SAS）∴∠ADB=∠ADC∵∠AD

把△APC绕A逆时针旋转60°得到△AP′C′，如图∴∠CAC′=∠PAP′=60°，AC=AC′，AP=AP′，PC=P′C′，∴△APP′为等边三角形，∴PP′=AP，∵∠BAC=120°，∴∠B