P为边长为1的正三角形内一点,则PA.PB.PC中至少有一条线段

(1)S=√3/4*a^2(2)h=PD+PE+PF=√3/2*a(3)h=1,a=2√3/3PD=1/2,PE=1/3,PF=1-PD-PE=1-1/2-1/3=1/6h/a=sin60°=√3/2

连接AP、BP、CP，设等边三角形的高为h，如图：∵正三角形ABC边长为2∴h=22−12＝3∵S△BPC=12BC•PDS△APC=12AC•PES△APB=12AB•PF∴S△ABC=12BC•P

用旋转法（将三角形APB绕B顺时针旋转60度,已知数符合勾股定理逆定理）可知：角APB=150°　作外角,30度,构造直角三角形,再用勾股定理：可求得边长=根号7

P-ABC为一个正四面体看三角形PABPA=PB=AB=aP到AB的距离就是三角形PAB中边AB上的高,就是a√3/2a乘以根号3除以2

设三角形的心为OAP=A0+OPBP=BO+OPCP=CO+OPAP^2+BP^2+CP^2=AO^2+OP^2+2AOOP+BO^2+OP^2+2BOOP+CO^2+OP^2+2COOP=AO^2+

知难而上：将三角形BPC绕点B逆时针旋转60度,成为三角形BDA,连DP∠DBP=60,DB=BP,BDP是等边三角形,所以：DP=2√3三角形ADP中,AD^2+DP^2=AP^2,所以三角形ADP

这题可以引伸一个很著名的定理:P是任意三角形ABC内一点,则当∠APB=∠BPC=∠APC=120`时PA+PB+PC达到最小值.我简单证明一下:将三角形APC绕C点顺时针旋转60`的三角形A'P'C

以A为中心作△PAK使得△APB的AB边位置与AC重合,AP=AK=2∠PAK=60°即△APK为正三角形∴∠AKP=60°△PKC三条边长分别为PK=根号3,KC=3,PC=2倍的根号3的三角形（2

满足条件的正三角形ABC如下图所示：其中正三角形ABC的面积S三角形=34×4=3满足到正三角形ABC的顶点A、B、C的距离至少有一个小于1的平面区域如图中阴影部分所示则S阴影=12π则使点P到三个顶

如图正三角形ABC边长为2若点P  位于红色部分,则P到三个顶点的距离均大于1若点P  位于绿色部分,则P到三个顶点的距离至少有一个小于1所以,在边长为2的正三

维维安尼定理等边三角形内任一点到三边的距离之和等于它的高

设正三角形ABC,其内一点P,至三边距离为PE、PF,PG,高为h,边长a,分别边结AP、BP、CP,AB=BC=AC=a,S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PAC=（PE*AB+PF*BC+P

见图：

∵12×a×1+12×b×1+12×c×1=12×1×32，∴a+b+c=32．∵（a+b+c）2≥3（ab+ac+bc），∴ab+bc+ca≤13×(32)2=14．又ab+bc+ca＞0．∴ab+

第一问很简单,利用面积和计算,不说了第二问：如图,过P做GH//BC,LM//AC,JK//AB剩下的应该能看出来了吧,相邻的黑色小三角形和白色小三角形面积相等举例：△BPG和△BPJ面积相同(平行四

答案是a先延长DP,EP,FP假设FP的延长线交BC与G因为ABC是正三角形,且PD‖AB,PE‖BC,PF‖AC所以,PF=BD,PD=DG,PE=GCPD+PE+PE=BD+DG+DC=BC=a

解析做EH垂直于AB于点H（必过P点）有三角形知识可知正三角形的中心是四心合一所以EP比PH=2比1又AB=AE=EB=1由此可以算出EH=进而算出PH且PH=PF=六分之根三

3倍根号3分之pi.边长为A这条件可以去掉.

∵△PBC的面积=√3/4△CDP的面积=1/4∴四边形BCDP的面积=（1+√3）/4∵△BCD的面积=1/2∴△BPD的面积=（1+√3）/4-1/2=(√3-1)/4

根号3面积法连接PAPBPC利用△ABC的面积=△PAB的面积+△PBC的面积+△PAC的面积最后得到结论P点到三边距离之和等于△ABC的高