P为边长等于1的正三角形ABC内任意一点,设l=PA+PB+PC,求证:根号3≤l

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/27 20:54:16

这题可以引伸一个很著名的定理:
P是任意三角形ABC内一点,则当∠APB=∠BPC=∠APC=120`时PA+PB+PC达到最小值.
我简单证明一下:
将三角形APC绕C点顺时针旋转60`的三角形A'P'C
因为 ∠PCP'=60`,PC=P'C
所以 PP'C为等边三角形 ,PC=P'C=PP'
又 ∠BPC+∠P'PC=180`=∠P'PC+∠CP'A'
所以 B,P,P',A,共线
于是 BA'=PB+PA+PC在此时达到最小值
回到此题,问题中的正三角形是让你计算L(min)
当P是正三角形重心时(三线合一)L=PA+PB+PC最小
易求此时L=根号3
故根号3≤L

P为边长等于1的正三角形ABC内任意一点,设l=PA+PB+PC,求证:根号3≤l 设P为边长为1的等边△ABC内任一点,且l=PA+PB+PC,求证根号3≤l 点P是边长为1的等边三角形ABC内任意一点,连接PA、PB、PC,求证:√3≤PA+PB+PC＜2 P为正三角形ABC内一点,PA等于根号3,PB等于3,PC等于2倍根号3,求三角形ABC的边长. P是边长为1的等边三角形ABC内任意一点,设T=PA+PB+PC,求证1.5小于T小于2 P为正三角形ABC内一点,PA=根号3,PB=3,PC=2倍的根号3,求三角形ABC的边长. 设P是正三角形ABC外接圆的劣弧BC上任意一点,求证：PB+PC=PA,PB*PC=PA^2-PB^2 设P为正三角形ABC内一点,记PA=a,PB=b,PC=c,使用含abc的式子表示三角形的边长如图,P为正三角形ABC内一点,P到三个顶点的距离PA=2,PB=4,PC=2根号3 求证正三角形ABC的面积 △ABC是边长为1的正三角形,点P在△ABC所在平面内,且|PA|^2+|PB|^2+|PC|^2=a,求证 P为△ABC内任意一点,求证:PA+PB+PC>1/2(AB+BC+AC) 如图,P为等边三角形ABC内任意一点,连接PA,PB,PC,求证：（1）PA+PB+PC＞二分之三倍的AB；