证明 若A的平方等于E,则A的特征值为1或-1
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/28 14:41:20
正交矩阵定义:AA'=E(E为单位矩阵,A'表示“矩阵A的转置矩阵”.)或A′A=E,则n阶实矩阵A称为正交矩阵对称矩阵A'=A所以A方=E,命题成立
Aa=ra,r为特征根.a=Ea=A^2a=A(Aa)=Ara=rAa=r(ra)=r^2a=>r^2=1,r=1or-1.
A=A^24A^2-4A+E=E(E-2A)(E-2A)=E所以E-2A可逆且(E-2A)的负一次方等于E-2A
只需证A有特征值是1或-1.设Ax=kx(k为复特征值,x为复特征向量),则x'A'=k'x'(以'表示共轭转置,k'就是k的共轭)两式相乘,得x'x=x'A'Ax=|k|^2*x'x又x'x>0,所
由于(A+2E)(A-2E)=A^2-4E=-3E,所以(A+2E)(-A/3+2E/3)=E,因此A+2E可逆.
A^2=A->A(A-E)=0所以r[A(A-E)]≥r(A)+r(A-E)-nr(A)+r(A-E)≥r(A-A+E)所以r(A)+r(A-E)=n也可以用分块矩阵做
方向:因为(AB)^2=E即:A(BAB)=E所以A的逆=BAB又因为A^2=E所以A的逆=A所以A=BAB两边左乘B得到BA=BBABBB=E所以BA=ABA的逆就是A的逆矩阵难道你不知道?那是不可
考虑(E-A)(E+A+A^2+A^3+...+A^(K-1))=E+A+A^2+A^(k-1)-A-A^2-A^3-...-A^k=E-A^k=E(因为已知A^k=0)所以E-A的可逆矩阵为E+A+
其实这种题目最关键的就是要构造出E+A的式子:A^2=AA^2-A=OA^2-A-2E=-2E(A+E)(A-2E)=-2E(A+E)(E-A/2)=E表明A+E可逆,并且A+E的逆矩阵就是E-A/2
A²+3A-E=0A(A+3E)=E所以(A+3E)^(-1)=A
设λ是A的任意一个特征值,α是λ所对应的特征向量Aα=λαA²α=λAαEα=α=λ·λα=λ²αλ²=1λ=±1所以A的特征值只能是1或-1
假设A+E不可逆,则|A+E|=0所以-1是A的一个特征值设ξ是属于-1的一个特征向量则A^2ξ=A(-ξ)=-Aξ=ξ但A^2=A所以A^2ξ=Aξ=-ξ矛盾
设λ是A的任意一个特征值,α是λ所对应的特征向量Aα=λαA²α=λAαEα=α=λ·λα=λ²αλ²=1λ=±1所以A的特征值只能是±1
A^2=A,则(A-E)A=0,若A可逆,则A-E=0,A=E;若A-E可逆,则A=0;但如果A,A-E都不可逆,那么不能有A等于E或0;反例:0001
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设Ax=0左乘A^T(就是A的转置)得到(A^T)Ax=0就是说Ax=0的解一定是(A^T)Ax=0的解同理对方程(A^T)Ax=0左乘x^T得到(Ax)^T(Ax)=0因为Ax是个列向量,(Ax)^
设λ是A的任意一个特征值,α是λ所对应的特征向量Aα=λαA²α=λAαEα=α=λ·λα=λ²αλ²=1λ=±1所以A的特征值只能是±1
拿你这题来说等式右边凑出一个k*E等式左边凑出一个(A+E)(A+mE)既(A+E)(A+mE)=kE然后拆开:A^2+(m+1)A+mE-kE=0与A^2-A=0比较系数得m+1=-1m-k=0求出
(A+E)(A-2E)=A^2-2AE+EA-2E^2=A-2A+A-2E=-2E所以A+E的逆应该是-(A-2E)/2吧
A^m=E,则|A^m|=1A*A^(m-1)=E,则A可逆A*A(※)=|A|EA(※)表示A伴随矩阵则A(※)=|A|A(-1)A(-1)表示A逆A(※)^m=(|A|A(-1))^m=|A|^m