设A是数域K上的n阶可逆方阵,证明若A为上上交矩阵,则A-1也为上三角阵
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/05 11:18:19
由A^2=A知道A的特征值只能是1和0若|A+E|=0,则-1是其特征值,这不可能所以|A+E|≠0,即可逆
(A+E)的平方=OA²+2A+E=OA(A+2E)=-EA(-A-2E)=E所以有定义可知A可逆.
设A的特征值为λ,则A+E的特征值为λ+1(这儿使用的是公式:f(A)的特征值为f(λ))从而因为A的特征值为0,1,……,n-1,所以A+E的特征值为1,2,……,n,从而|A+E|=n!不等于0,
(E-A)(E+A+A^2+...+A^K-1)=E+A+A^2+...+A^K-1-(A+A^2+...+A^K)=E-A^k=E所以:E-A可逆,并且(E-A)^-1=E+A+A^2+...+A^
由(A+E)^2=0得A^2+2A+E=0A(-A-2E)=E所以A可逆且逆矩阵为-A-2E
∵n阶方阵A可逆⇔|A|≠0⇔r(A)=n∴C、D错误又A的行列式等于其特征值的乘积∴由|A|≠0可知,A的特征值全不为零∴A错误,B正确故选:B.
|AB|=|A||B|=|B||A|=|BA|
因为A可逆,所以A^(-1)ABA=BA所以AB与BA相似.
有个重要关系式:AA*=det(A)E,A*是A的伴随阵.取行列式得det(A)det(A*)=det(A)^ndet(E)=det(A)^n,由于det(A)不等于0,因此有det(A*)=(det
将A^2+2A-4E=0变化为A^2+2A-3E=E,即(A+3E)*(A-E)=E,因为(A-E)可逆,所以A+3E的逆方阵为(A-E)^-1
给你例子看看A=[1,0;0,0],B=[0,0;0,1]则因为r(A)=r(B)=1,所以A与B等价.但它们的行向量组,列向量组都不等价A的行向量组是(1,0),(0,0)B的行向量组是(0,0),
假设A+E不可逆,则|A+E|=0所以-1是A的一个特征值设ξ是属于-1的一个特征向量则A^2ξ=A(-ξ)=-Aξ=ξ但A^2=A所以A^2ξ=Aξ=-ξ矛盾
AB*(AB)^(-1)=EAB^(-1)=B^(-1)A^(-1)AB*(AB)^(-1)=AB*B^(-1)*A^(-1)=A[B*B^(-1)]A^(-1)=E故:B*B^(-1)不等于0B*B
BX=C-AB^(-1)BX=B^(-1)*(C-A)X=B^(-1)*(C-A)
证明:设A有特征值S,则A^k的特征值为S^k.(在线性代数的习题里有此类定理).由A^k=O可知:S^k=0(零矩阵的特征值只有0).故S=0,可知I-A的特征值只有1,故|I-A|=1(对应的行列
A乘以A^*等于对角线全是|A|的对角矩阵.所以|A*A^*|=|A|*|A^*|=|A|^n.所以|A^*|=|A|^n-1
我证的是T^-1AT,你再调整一下字母吧~证明:设λ1,...,λs为A的所有不同的实特征根,且可知A与某一Jordan标准型矩阵J相似,即存在可逆实矩阵P使得P^(-1)AP=J,其中,J1λi1J
将逆矩阵设出来直接求解请见下图
请看图片\x0d