设A.B均为mn矩阵.证明r(A B)小于等于r(A)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/15 14:47:57
秩相等不一定相似所以"存在可逆矩阵P,使得P^-1AP=B不对"因为A,B的秩相等,所以它们的等价标准形相同即A,B都与H=Er000等价即存在可逆矩阵使得P1AQ1=H=P2BQ2所以P2^-1P1
依题意r(A)=r
证明:首先有r(AB)≤min(r(A),r(B))≤r(A).再由B为行满秩,r(B)=n所以B可经过初等行变换化为(En,B1).所以存在可逆矩阵P使PB=(En,B1),且有r(AP^(-1))
A的列向量可由(A,B)的列向量组线性表示所以r(A)
设一分块矩阵C上块为A下块为BCx=0的解就是Ax=0与Bx=0的公共解r(C)
请看图片证明:
任何一个可逆阵,可以写成若干个初等阵的积左(右)乘一个初等阵,相当于做一次初等行(列)变换所以一个可逆阵乘一个阵,相当于对矩阵做初等变换而初等变换不改变矩阵的秩所以命题成立
我想了好久没作出来!后来发现题目有误!比如取A=B且R(A)
(D)正确.联立方程组Ax=0Bx=0则系数矩阵的秩r(A;B)
A,B的列向量可由(A,B)的列向量线性表示所以r(A)
因为AB=AC所以A(B-C)=0所以B-C的列向量都是Ax=0的解又因为B≠C所以B-C≠0所以Ax=0有非零解所以r(A)
证:将B按列分块为B=(b1,...,bs)因为AB=0所以A(b1,...,bs)=(Ab1,...,Abs)=0所以Abi=0,i=1,...,s即B的列向量都是齐次线性方程组AX=0的解向量所以
首先证明任取n维列向量x≠0,Bx≠0因为R(B)=n,所以存在B的n级子式不为0,不妨设B前n行构成的子式|B1|不为0,则若B1x=0必有x=0,矛盾.所以B1x≠0,所以Bx≠0.这样因为A正定
这个题有点难度.经济数学团队帮你解答.请及时评价.
这个叫做矩阵的满秩分解,《矩阵论》上的定理.证明:A是m×n矩阵,R(A)=r,则A一定能通过初等行列变换变成如下矩阵100...00010...00001...00...000...00就是左上角是
只需证明齐次线性方程组B^TABx=0(1)与Bx=0(2)同解.显然(2)的解是(1)的解对(1)的解x,有x^TB^TABx=0即(Bx)^TA(Bx)=0由于A正定,故Bx=0所以(1)的解也是
考察I00AB利用初等变换I00ABI-B0ABI-BA0再由秩的定义容易说明它的秩不小于0-BA0的秩即可.
1)由AB=0,得R(A)+R(B)《r.又R(B)=r,故R(A)《0.显然R(A)》0.故R(A)=0既A=02)如果AB=B,则AB-B=0.即(A-E)B=0,R(B)+R(A-E)《r.又R
证明:分两步(1)ABX=0与BX=0同解显然,BX=0的解都是ABX=0的解所以BX=0的基础解系可由ABX=0的基础解系线性表示.由已知r(B)=r(AB)所以两个基础解系所含向量个数相同故两个基