作业帮矩阵有相同特征值与相同几何重数
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 20:08:45
考虑某个特征值s’的特征子空间V',V'的维数就是s’的几何重数m,再取V'的一组基（由m个线性无关的向量组成）,扩充这组基为原n维空间V的一组基,线性变换在这组新基下的表示矩阵可以写成块上三角阵的形
因为A可逆所以A^-1(AB)A=BA所以AB与BA相似所以AB与BA有相同的特征值.
相同特征值不一定相似比如10和110101如果A,B特征值相同,且都可以对角化,那此时A和B是相似的
设矩阵A经过初等行变换之后,化为上三角矩阵B,则A等价于B矩阵A'经过初等列变换之后,可化为下三角矩阵C,则A'等价于C显然,B的转置矩阵B'=C因为,转置之后对角线上的元素不变,所以,B和C的对角线
实对称矩阵可正交对角化,正交对角化即与对角矩阵相似由于对角矩阵主对角线上元素都是特征值所以特征值相同的实对称矩阵相似与同一个对角矩阵而相似关系都是等价关系(有传递性)所以实对称矩阵相似的充要条件是特征
代数重数即特征值的重数几何重数就是属于特征值的线性无关的特征向量的最大个数|A-λE|=(9-λ)λ^2先提交,然后继续哈再答：(A-9E)x=0的基础解系为(1,1,1)^T所以特征值9的代数重数为
代数重数指特征值是几重根几何重数指该特征值所对应特征向量所构成空间的维数恒有几何重数
A与B相似并不相同,理由如下：1.A与B矩阵都有n个互不相同的特征值,说明了A和B都是非退化(nondefective)矩阵,即存在非奇异矩阵Q1和Q2使得：Q1^-1*A*Q1=D1、Q2*B*Q2
相似的矩阵必有相同的特征向量是否必有相同的特征值?你恰问反了,应该问:相似的矩阵必有相同的特征值,是否必有相同的特征向量?相似的矩阵必有相同的特征值,但不一定有相同的特征向量.
这个比较简单,证明过程如下：1.A相似于某个Jordan标准型J,且J=diag{J1,J2,...,Jp},Ji表示第i个特征值λi对应的Jordan块；2.不难发现,J对应于任何λi的几何重数等于
几何重数即特征值对应的齐次线性方程组的基础解系所含向量的个数即n-r(A-λE)
两个矩阵合同,只能保证正负惯性指数相等,也就是正负特征值个数相等,但并不能保证特征值相同.
A与B相似所以存在一个矩阵P使得A=PBP^(-1)设α是A的属于λ的一个特征向量所以Aα=λα将A=PBP^(-1)带入PBP^(-1)α=λα得BP^(-1)α=λP^(-1)α所以x是B的属于λ
因为特征值是特征方程|λI-A|=0的根,所以要证明特征值相同只要特征方程相同即可令矩阵B=λI-A,根据行列式知识detB=detB'即|λI-A|=|（λI-A）'|=|λI-A'|,因此A和A'
呵呵是的特征多项式就是乘积(λ-λi)
选A因为|xE-AT|=|(xE-A)T|=|xE-A|
AB～A^{-1}(AB)A=BA,因而特征值都相同
等价.n阶方阵A可对角化A有n个线性无关的特征向量A的k重根有k个线性无关的特征向量.再问：第二个等价为什么？再答：因为|A-λE|共有n个根(重根按重数计)用你的记号,有k1+k2+...+ks=n
相同特征值就是令特征多项式等于零,然后解出来的,而且特征多项式的每一个因式都是（λ-特征值）的形式,所以说是相同的,希望能帮到你
是称为代数重数属于某个特征值的线性无关的特征向量的个数称为这个特征值的几何重数几何重数