拉格朗日中值定理为什么要在闭区间上连续

证明如下：如果函数f(x)在（a,b）上可导,[a,b]上连续,则必有一ξ∈[a,b]使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)示意图令f(x)为y,所以该公式可写成△y=f'(x

实际上这些定理都是等价的,只要其中一个成立就可以证明其它的也成立,任何一个都可作为基础.教材是按最简原则安排的,就是按洛尔定理----拉格朗日中值定理----柯西中值定理的顺序安排的.

基本没有捷径,苦练,不过你会发现技巧的,技巧就在构造合适的辅助函数上,这个不好言传,自己慢慢体会

设F(x)=xf(x),则F（0）=0=F(1),且F'（x）=f'(x)x+f(x),故在（0,1）上必存在一点ξ使F'(ξ)=0,则F'(ξ)=f'(ξ)ξ+f(ξ)=0,则有f'(ξ)=-f(ξ

再答：再答：再问：第一题不用分类讨论吗？再答：不需要

1,根据拉格朗日中值定理1/(1+c^2)=(arctanx-arctan0)/(x-0)0

对f(x)和g(x)=x^3使用柯西中值定理,得[f(b)-f(a)]/(b^3-a^3)=f'(η)/3η^2,再对f(x)使用拉格朗日中值定理,有f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a),代入上式

如果函数f(x)在（a,b）上可导,[a,b]上连续,则必有一ξ∈[a,b],使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)

Lagrange中值定理的应用实在是太多太多了……比如洛比塔法则,Taylor展开都可以看作是它的应用.举个具体例子：f在[a,b]连续,(a,b)可导,f'(x)恒等于m,证明f在[a,b]为一次函

再问：再问：�������֤������ô��ѽ再答：再问：再问：再答：再问：��再问：再答：

柯西中值定理其实包含了罗尔定理和拉格朗日中值定理,关键是根据题目需要灵活使用,证明存在导数为零的题目可能就是罗尔,证明某个函数的导函数性质可能是拉格朗日,如果涉及某个比较复杂的关系式或两个函数的导函数

因为它在区间界上是不可导的.只有一侧的导数,根据可导的定义,在一点可导的充要条件是左导数＝右导数＝导数.故是开区间可导再问：可能没问清楚，我是想知道在开区间可导并连续的条件下中值定理应该怎么改写？再答

将三项分开看：1、对于确定的f（x）而言,[(f(b)-f(a))]/(b-a)是一个固定值,所以[(f(b)-f(a))]/(b-a)*(x-a)求导结果就是[(f(b)-f(a))]/(b-a)2

定义如果函数f(x)在（a,b）上可导,[a,b]上连续,则必有一ξ∈[a,b]使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)示意图令f(x)为y,所以该公式可写成△y=f'(x+θ△

必须是闭区间连续.开区间连续的话f(a)、f(b)不一定存在,存在也不一定符合定理.你可以设计一个在(a,b)内单调递增但f(a)=f(b)的函数,它开区间连续,但中值定理不成立.

指的是区间（a,b）的两个端点所连直线的斜率,这个定理就是说如果在闭区间上连续,开区间上可导,那么总有那么一个值能够使已知曲线的斜率和直线斜率相等,其他的斜率都会比这个大或者小.事实上如果你看过罗尔定

若函数f(x)在区间[a,b]满足以下条件:　　(1)在[a,b]连续　　(2)在(a,b)可导　　则在(a,b)中至少存在一点c使f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)a

定义又称拉氏定理.　　如果函数f(x)在（a,b）上可导,[a,b]上连续,则必有一ξ∈[a,b]使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)令f(x)为y,所以该公式可写成△y=f'(x+θ△x)

注意f非线性的条件,在(0,1)内存在一点c使得c不等于f(c),接下去可以自己看着办了再问：我就想知道这个非线性是想表达一个什么隐含条件？再答：我不是已经写得很清楚了吗"在(0,1)内存在一点c使得