已知向量组a1,a2,a3的秩为3,求问

因为r(a1,a2,a3)=3,所以a1,a2,a3线性无关又因为r(a1,a2,a3,a4)=3,所以a1,a2,a3,a4相关所以a4可由a1,a2,a3线性表示.因为r(a1,a2,a3,a5)

证明：设：k1(a1+2a2)+k2(2a2+3a3)+k3(3a3+a1)=0整理得：(k1+k3)a1+(2k1+2k2)a2+(3k2+3k3)a3=0∵a1,a2,a3线性无关∴k1+k3=0

设k1(a1+a2)+k2(a2+a3)+k3(a3+a4)+k4(a4-a1)=0整理后得到(k1-k4)a1+(k1+k2)a2+(k2+k3)a3+(k3+k4)a4=0由于a1,a2,a3,a

因为a1,a2,a3,a5的秩是4所以a1,a2,a3线性无关,且a5不能由a1,a2,a3线性表示又因为a1,a2,a3,a4的秩是3所以a4可由a1,a2,a3线性表示所以a5-a4不能由a1,a

向量组α2,α3,α4线性无关,则α2,α3也线性无关.又α1,α2,α3线性相关,则α1可以由α2,α32线性表示.所以α1,α2,α3的最大线性无关组是α2,α3.

C

a1,a2,a3,a4线性相关则存在x1,x2,x3使得a4=x1a1+x2a2+x3a3.(1)a1,a2,a3,a5线性相关则存在y1,y2,y3使得a5=y1a1+y2a2+y3a3.(2)(2

假设：a1＋a2、a2＋a3、a3＋a1是线性相关的,则：a3＋a1=m(a1＋a2)＋n(a2＋a3)(m－1)a1＋(m＋n)a2＋(n－1)a3=0因a1、a2、a3线性无关,则：m－1=0且m

(b1,b2,b3)=(a1,a2,a3)P,即B组可由A组线性表示.P=1111-2100-7因为|P|=-3*(-7)=21≠0所以P可逆.即有(b1,b2,b3)P^(-1)=(a1,a2,a3

对于向量组a1,a2,a3要线性相关,则k1*a1+k2*a2+k3*a3=0(其中k1,k3,k3不全为零)只要符合上式,就不是线性相关,而是线性无关例如A中的向量组k1*a1+k2*(3a3)+k

向量组a1,a2,a3的秩为3,这说明这个向量组线性无关,向量组的线性相关性与向量组中向量之间的次序无关,也与某一个向量的非零倍数无关.所以向量组a1,a3,-a2的秩也为3.再问：答案是2啊~~向量

两个向量组查相互线性表示所以两个向量组等价而等价的向量组秩相同所以第2个向量组的秩也是3

(b1,b2,b3)=11121-1-1121110-1-30231110-1-300-3满秩,所以线性无关

(2a1+3a2,a2-3a3,a1+a2+a3)=(a1,a2,a3)K其中K=2013110-31因为|K|=-1≠0所以K可逆所以r(2a1+3a2,a2-3a3,a1+a2+a3)=r(a1,

(b1,b2,b3)=(a1,a2,a3)KK=110121011-->110011000因为A组线性无关所以r(B)=r(K)=2

(2a1+a3+a4,a2-a4,a3+a4,a2+a3,2a1+a2+a3)=(a1,a2,a3,a4)KK=2000201011101111-1100由于a1,a2,a3,a4线性无关,则R(2a

(a1+a2,a2+a3,λa1+a3)=(a1,a2,a3)KK=10λ110011|K|=1+λ由已知r(K)=r(a1+a2,a2+a3,λa1+a3)=3所以λ≠-1.再问：那个行列式是怎么得

A假设a1+a2,a2+a3,a3+a4,a4+a1线性相关,则存在不全为零的k1、k2、k3、k4,使得k1(a1+a2)+k2(a2+a3)+k3(a3+a4)+k4(a4+a1)=0即(k1+k

用定义设k1（a1+a2）+k2（3a2+2a3）+k3（a1-2a2+a3）=0重新分组：a1(k1+k3)+a2(k1+3k2-2k3)+a3(2k2+k3)=0因为a1,a2,a3线性无关,所以

因为向量组a2,a3,a4线性无关所以a2,a3线性无关又因为a1,a2,a3线性相关所以a1可由a2,a3线性表示所以a1可由a2,a3,a4线性表示所以a2,a3,a4是一个极大无关组所以向量组的