作业帮已知函数f（x）=ln(1+x)x．
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/20 03:37:40
已知函数f（x）=
| ln(1+x) |
| x |
（Ⅰ）函数f(x)＝
ln(1+x)
x的导函数为f/(x)＝
x
1+x−ln(1+x)
x2，
在[0，+∞）上考虑函数g(x)＝
x
1+x−ln(1+x)，由g/(x)＝
1
(1+x)2−
1
1+x≤0，
可知g（x）单调递减，结合g（0）=0，当x＞0时，g（x）＜0，所以，f′（x）＜0，f(x)＝
ln(1+x)
x在（0，+∞）单调递减．
∵f（1）=ln2，∴若x≥1，则 f（x）≤ln2．
（Ⅱ） 要使得对任意x＞0，f（x）＞1+px即
ln(1+x)
x＞1+px恒成立，首先由熟知的不等式ln（1+x）＜x知p＜0
令h（x）=ln（1+x）-x-px2，则只要h（x）＞0恒成立．
以下在[0，+∞）上考虑h（x）.h/(x)＝
1
1+x−1−2px＝
−2px(x+
2p+1
2p)
1+x．
这里p＜0，故若2p+1＞0，则在区间(0，−
2p+1
2p)内，h′（x）＜0，h（x）单调递减，但h（0）=0，所以在区间(0，−
2p+1
2p)内，h（x）＜0，这与题意不符；
反之，若2p+1≤0，则当x＞0时恒有h′（x）＞0，h（x）单调递增，但h（0）=0，所以对任意x＞0，h（x）＞0，也就是
ln(1+x)
x＞1+px恒成立．
综上所述，使得对任意x＞0，f（x）＞1+px恒成立的最大的p＝−
1
2．
ln(1+x)
x的导函数为f/(x)＝
x
1+x−ln(1+x)
x2，
在[0，+∞）上考虑函数g(x)＝
x
1+x−ln(1+x)，由g/(x)＝
1
(1+x)2−
1
1+x≤0，
可知g（x）单调递减，结合g（0）=0，当x＞0时，g（x）＜0，所以，f′（x）＜0，f(x)＝
ln(1+x)
x在（0，+∞）单调递减．
∵f（1）=ln2，∴若x≥1，则 f（x）≤ln2．
（Ⅱ） 要使得对任意x＞0，f（x）＞1+px即
ln(1+x)
x＞1+px恒成立，首先由熟知的不等式ln（1+x）＜x知p＜0
令h（x）=ln（1+x）-x-px2，则只要h（x）＞0恒成立．
以下在[0，+∞）上考虑h（x）.h/(x)＝
1
1+x−1−2px＝
−2px(x+
2p+1
2p)
1+x．
这里p＜0，故若2p+1＞0，则在区间(0，−
2p+1
2p)内，h′（x）＜0，h（x）单调递减，但h（0）=0，所以在区间(0，−
2p+1
2p)内，h（x）＜0，这与题意不符；
反之，若2p+1≤0，则当x＞0时恒有h′（x）＞0，h（x）单调递增，但h（0）=0，所以对任意x＞0，h（x）＞0，也就是
ln(1+x)
x＞1+px恒成立．
综上所述，使得对任意x＞0，f（x）＞1+px恒成立的最大的p＝−
1
2．
已知函数f（x）=ln（x+1）,
已知函数f(x)＝ln(1+x)x．
已知函数f(x)=e^x-ln(x+1).
已知函数f（x）=ln（x+x
已知函数f（x）=x^2-2x+ln[(1-x)/(1+x)]
已知函数f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1．
已知函数f（x）=ln（1+x）-x1+x．
已知函数f（x）=ln(1+x)x．
已知函数f(x)=ln(x+1)+ax
已知函数f(x)=ln(ax)/(x+1) - ln(ax) + ln(x+1),（a不等于0且为R） 1.求函数f(x
已知函数f（x）=ax2+ln（x+1）．
已知函数f(x)=ln(1+x)-x+k/2x^2 求f（x）的单调性