已知函数f（x）=ax2+ln（x+1）．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/26 08:02:49

已知函数f（x）=ax²+ln（x+1）．
（1）求函数g（x）=f（x）-ax²-x的单调区间及最大值；
（2）当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，求实数a的取值范围．
（3）求证：(1+

（1）因为g（x）=f（x）-ax²-x=ax²+ln（x+1）-ax²-x=ln（x+1）-x （x＞-1），
所以g′(x)＝
1
x+1−1＝−
x
x+1 (x＞−1)，
当-1＜x＜0时，g^′（x）＞0，当x＞0时，g^′（x）＜0，
故函数g（x）的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为（0，+∞）．
g（x）_max=g（0）=ln1=0．
（2）因为当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，即ax²+ln（x+1）-x≤0恒成立，
设g（x）=ax²+ln（x+1）-x（x≥0），只需g（x）_max≤0即可．
g′(x)＝2ax+
1
x+1−1＝
x[2ax+(2a−1)]
x+1，
①当a=0时，g′(x)＝
−x
x+1，当x＞0时，g^′（x）＜0，函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，故g（x）≤g（0）=0成立．
②当a＞0时，由g′(x)＝
x[2ax+(2a−1)]
x+1＝0，因x∈[0，+∞），所以x＝
1
2a−1，
1°若
1
2a−1＜0，即a＞
1
2时，在区间（0，+∞）上，g^′（x）＞0，则g（x）在（0，+∞）上单调递增，
g（x）在[0，+∞）上无最大值，此时不满足条件；
2°若
1
2a−1≥0，即0＜a≤
1
2时，函数g（x）在(0，
1
2a−1)上单调递减，在区间(
1
2a−1，+∞)上单调递增，同样g（x）在[0，+∞）上无最大值，不满足条件．
③当a＜0时，由g′(x)＝
x[2ax+(2a−1)]
x+1，∵x∈[0，+∞），∴2ax+（2a-1）＜0，
∴g^′（x）＜0，故函数g（x）在[0，+∞）上单调递减，故g（x）≤g（0）=0成立．
综上所述，实数a的取值范围是（-∞，0]．
（3）由（1）知ln（x+1）≤x，令x=
1
n2，所以ln(1+
1
n2)≤
1
n2＝
1
n•n＜
1
(n−1)n＝
1
n−1−
1
n，
所以ln(1+
1
22)+ln(1+
1
32)+…+ln(1+

已知函数f（x）=ax2+ln（x+1）．已知函数f（x）=ax2-bx+1．已知函数f（x）=ln（x+1）, 已知函数f（x）=ln（x+1）+ax2-x,a∈R．）是否存在实数b∈（0,1）,使得当x∈（-1,b]时,函数f（已知函数f（x）=1/2 ax2+2x-ln（x+1)，当x≥0时，若函数y=f(x)的图象都在x≥0,y-x≤0所表示已知函数f（x）=ln（x+x 已知函数f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1．已知函数f（x）=ln（1+x）-x1+x．已知函数f（x）=ln(1+x)x．已知函数f（x）=ax2+x-xlnx，已知函数f（x）=x3-ax2-3x 已知函数f（x）=x^2-2x+ln[(1-x)/(1+x)]