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设二次函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),已知不论α,β为何实数恒有f(sinα)≥0,f(2+cosβ)≤0

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/12 09:08:22
设二次函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),已知不论α,β为何实数恒有f(sinα)≥0,f(2+cosβ)≤0
(1)求证:b+c+1=0;
(2)求证:c≥3;
(3)若函数f(sinα)的最大值为8,求b,c值.
(1)∵sinα∈[-1,1],2+cosβ∈[1,3],又∵f(sinα)≥0,f(2+cosβ)≤0恒成立.∴f(1)≥0,且f(1)≤0,
即  f(1)=0恒成立.∴1+b+c=0.
(2)∵f(3)≤0,∴9+3b+c≤0,∴9+3(-1-c)+c≤0,∴c≥3.
(3)由题意可知:不论α,β为何实数恒有f(sinα)≥0,f(2+cosβ)≤0
且sinα∈[-1,1],2+cosβ∈[1,3],
故f(x)在[-1,1]上为减函数,∴8=f(-1)=1-b+c①,∵b+c=-1②,
由①,②可得 b=-4,c=3.