已知圆C经过A(5,1)、B(1,3)两点,圆心在x轴上.若过点P(1,0)的直线交圆C于点E、F,求弦EF中点M的轨迹

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/23 12:16:39

已知圆C经过A(5,1)、B(1,3)两点,圆心在x轴上.若过点P(1,0)的直线交圆C于点E、F,求弦EF中点M的轨迹方程

已知圆C经过A(5,1)、B(1,3)两点,圆心在x轴上.若过点P(1,0)的直线交圆C于点E、F,求弦EF中点M的轨迹方程
设园心坐标为(m,0),半径为R,那么园的方程为(x-m)²+y²=R².(1)
将A、B的坐标代入得：
(5-m)²+1=R²,即有m²-10m+26=R².(2)
(1-m)²+9=R²,即有m²-2m+10=R².(3)
(3)-(2)得8m-16=0,故m=2,代入(3)式得R²=10；
于是得园的方程为(x-2)²+y²=10.(4)
设过点P（1,0)的直线的方程为y=k(x-1),代入(4)式得：
(x-2)²+k²(x-1)²=10；展开化简得(1+k²)x-2(2+k²)x+k²-6=0；
设E(x₁,y₁),F(x₂,y₂)；那么由韦达定理有：
x₁+x₂=2(2+k²)/(1+k²)；
y₁+y₂=k(x₁-1)+k(x₂-1)=k(x₁+x₂)-2k=2k(2+k²)/(1+k²)-2k=2k/(1+k²)；
设弦EF的中点的坐标为(x,y),则：
x=(x₁+x₂)/2=(2+k²)/(1+k²).(5)；
y=(y₁+y₂)/2=k/(1+k²).(6)；
(5)和(6)就是点M的轨迹的参数方程；消去参数k:：
由(5)得x=1+1/(1+k²),即有1/(1+k²)=x-1,代入(6)式得y=k(x-1)；故得k=y/(x-1).(7)
将(7)代入(6)式即得：
y=[y/(x-1)]/[1+y²/(x-1)²]
化简得x²-3x+y²+2=0,即(x-3/2)²+y²=1/4为所求.

已知圆C经过A(5,1)、B(1,3)两点,圆心在x轴上.若过点P(1,0)的直线交圆C于点E、F,求弦EF中点M的轨迹已知圆C:(x-1)^2+y^2=9内有一点p(2,2),过点p作直线l交圆C于A和B两点,当l经过圆心C时,求直线l的已知圆C：(X+3)的平方+(Y-4)的平方=4,过点P（1,2）作圆的割线交圆C于A.B两点,求AB中点M的轨迹方程已知圆C的方程为x2+y2=1,点A的坐标是A（2,0）,过点A的直线与圆交于P.Q两点,求PQ的中点M的轨迹方程已知点P（2,2）是圆C：（x-1）^2+（y-2）^2=4内一点,直线l过点P与圆C交于AB两点.求AB中点M的轨迹方如图,已知抛物线y = ax2 + bx+c过点C（0,-3）,与x轴交于A、B两点,经过A、B、C三点的圆的圆心M（1 已知P在圆C（x+1）^2+y^2=16上为一动点,圆心为A,定点B（1,0）与P连线的中垂线交线段AP于M,求M的轨迹已知圆C:(x-1)2＋y2=9内有一点P(2.2).过点P作直线l交圆C于A.B两点,求（1）当l经过圆心C时,直线l 描述:已知圆C的圆心在直线2x-y-3=0上,且经过点A(5,2),B(3,2) （1）求圆C的标准方程（2）直线过点P 已知圆C的圆心在直线2x－y－3＝0上,且经过点A(5,2) B(3,2) (1)求圆C标准方程 (2)直线l过点P(2 已知圆C：x^2+y^2+2x-4y+3=0 (1)过点M(-1,1)的直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为P, 已知平面内一动点P到F(1,0)的距离比点p到y轴的距离多1 过点F的直线交轨迹C于A B两两点,交直线x=﹣1于M点