作业帮 > 数学 > 作业

正整数列{an},{bn}满足对任意正整数n,an、bn、an+1成等差数列,bn、an+1、bn+1成等比数列,证明:

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/29 19:14:25
正整数列{an},{bn}满足对任意正整数n,an、bn、an+1成等差数列,bn、an+1、bn+1成等比数列,证明:数列{根号bn}成等差数列
当n>=2时,因为bn、an+1、bn+1成等比数列且都是正整数,所以an+1=(bn)^(1/2)*(bn+1)^(1/2),
an=(bn-1)^(1/2)*(bn)^(1/2),
an、bn、an+1成等差数列,所以an+an+1=2bn,把上面的an,an+1代入
(bn)^(1/2)*(bn+1)^(1/2)+(bn-1)^(1/2)*(bn)^(1/2)=2bn
化简得到
根号bn+1+根号bn-1=2倍根号bn
所以数列{根号bn}成等差数列