作业帮初中数学题-相似三角形
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/12 06:45:40
初中数学题-相似三角形
如图,已知AD为△ABC的角平分线,EF为AD的垂直平分线.求证：FD²=FB·FC
已知：如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,E是AC上一点,CF⊥BE于F.求证：EB·DF=AE·DB
如图,已知AD为△ABC的角平分线,EF为AD的垂直平分线.求证：FD²=FB·FC
已知：如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,E是AC上一点,CF⊥BE于F.求证：EB·DF=AE·DB
证明：（如图一）∵∠5=∠1＋∠2＋∠B = (∠1＋∠B)＋∠2 = ∠4＋∠2 = (∠2＋∠3)＋∠2 =∠1＋∠2＋∠3即：∠ACF=∠BAF又：∠AFC=∠BFA∴△ACF∽△BAF（有两个角相等的两个三角形相似）
证明：（如图二）∵∠1＋∠ABC=90°∠A＋∠ABC=90°∴∠1=∠A∵CD⊥AB CF⊥BE∴B、C、F、D四点共圆（线段两端点在同侧张等角,则四点共圆） （附：BC线段在同侧张两相等的直角）∴∠1=∠2（在同圆中,同弦所对的圆周角相等）而∠1=∠A∴∠2=∠A又 ∠ABE=∠FBD∴△AEB∽△FDB（有两个角相等的两个三角形相似）
再问： 没有学过四点共圆，能换一种证明说法吗？
再答： 如果不用四点共圆，也可以。
在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，BD是直角边在斜边上的射影，根据射影定理有：
BC×BC=BD×AB（直角三角形中，直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项）
同理，在Rt△BCE中，BF是直角边BC在斜边BE上的射影
∴BC×BC=BF×BE
∴BD×AB=BF×BE
换成比例 BD：BF=BE：AB
又∠EBA=∠DBF
∴△AEB∽△FDB（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
∴EB：AE=DB：DF
换成乘积式得到：
BE×DF=AE×DB