设 a b c d 为整数,a>b>c>d>0,且,ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c).证明 ab+cd
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/28 14:25:42
设 a b c d 为整数,a>b>c>d>0,且,ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c).证明 ab+cd 不是质数
①假设ab+cd是质数,我们将证明此会导
致矛顿.我们可将ab+cd表示为为ab + cd =(a+d)c+(b-c)a=m *(a+d ,b-c)其中m为一正整数.因假设ab+cd是质数,所以m=1或(a+d,b-c)=1
情况一:考虑m=1 ,则(a+d,b-c)=ab+cd>ab+cd-(a-b+d+c)=(a+d)(c-1)+(b-c)(a+1)≥(a+d,b-c)矛盾!
情况二:
考虑(a+d,b-c,a-c)=1因为ac+bd=(a+d)b-(b-c)a (2)
所以(a+d)b-(b-c)a=(b+d+a-c)(b+d-a+c) 因而可得
(a+d)(a-c-d)=(b-c)(b+c+d)从此可知,存在一个正整数k使得a-c-d=k(b-c),b+c+d=k(a+d)将这两式相加可得:a+b=k(a+b-c+d),
而k(c-d)=(k-1)(a+b)若k=1 ,则c=d ,此与a>b>c>d 矛盾!若k≥2,则2≥k/(k-1)=(a+b)/(c-d)>2这显然也不可能.所以由情况一、二可知ab+cd不是质数.
②假设p=ab+cd是素数,ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c)=(b+d)^2-(a-c)^2,得a^2-ac+c^2=b^2+bd+d^2,将a=(p-cd)/b代入上式,化简得p(p-2cd-bc)=(b^2-c^2)(b^2+bd+d^2),因为p=ab+cd>ab>b^2>b^2-c^2>0,p是素数得(p,b^2-c^2)=1,得p|b^2+bd+d^2,又2p>2(b^2+d^2)>(b+d)^2>b^2+bd+d^2,这说明p=b^2+bd+d^2,于是ab+cd=b^2+bd+d^2,即b(a-b)=d(b+d-c),由于b>c>d,所以b>c-d>0,这样(b,d)>1,意味着(b,d)|p,p不是素数,矛盾
③因为(ab+cd)-(ac+bd)=(a-d)(b-c)>0,所以(ab+cd)>(ac+bd);又因为(ac+bd)-(ad+bc)=(a-b)(c-d)>0,所以ab+cd>ac+bd>ad+bc.
由于ac+bd=(a+b-c+d)(-a+b+c+d),所以a^2-ac+c^2=b^2+bd+d^2.
因此(ac+bd)(b^2+bd+d^2)=ac(b^2+bd+d^2)+bd(a^2-ac+c^2)=acb^2+acd^2+a^2bd+bc^2d
=(ab+cd)(ad+bc),所以(ac+bd)可以被(ab+cd)(ad+bc)整除.
假设ab+cd是一个素数,由于ab+cd>ac+bd>1,所以(ab+cd)与(ac+bd)互素,因此(ac+bd)可以被(ad+bc)整除,与ac+bd>ad+bc矛盾.所以ab+cd是一个合数.
致矛顿.我们可将ab+cd表示为为ab + cd =(a+d)c+(b-c)a=m *(a+d ,b-c)其中m为一正整数.因假设ab+cd是质数,所以m=1或(a+d,b-c)=1
情况一:考虑m=1 ,则(a+d,b-c)=ab+cd>ab+cd-(a-b+d+c)=(a+d)(c-1)+(b-c)(a+1)≥(a+d,b-c)矛盾!
情况二:
考虑(a+d,b-c,a-c)=1因为ac+bd=(a+d)b-(b-c)a (2)
所以(a+d)b-(b-c)a=(b+d+a-c)(b+d-a+c) 因而可得
(a+d)(a-c-d)=(b-c)(b+c+d)从此可知,存在一个正整数k使得a-c-d=k(b-c),b+c+d=k(a+d)将这两式相加可得:a+b=k(a+b-c+d),
而k(c-d)=(k-1)(a+b)若k=1 ,则c=d ,此与a>b>c>d 矛盾!若k≥2,则2≥k/(k-1)=(a+b)/(c-d)>2这显然也不可能.所以由情况一、二可知ab+cd不是质数.
②假设p=ab+cd是素数,ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c)=(b+d)^2-(a-c)^2,得a^2-ac+c^2=b^2+bd+d^2,将a=(p-cd)/b代入上式,化简得p(p-2cd-bc)=(b^2-c^2)(b^2+bd+d^2),因为p=ab+cd>ab>b^2>b^2-c^2>0,p是素数得(p,b^2-c^2)=1,得p|b^2+bd+d^2,又2p>2(b^2+d^2)>(b+d)^2>b^2+bd+d^2,这说明p=b^2+bd+d^2,于是ab+cd=b^2+bd+d^2,即b(a-b)=d(b+d-c),由于b>c>d,所以b>c-d>0,这样(b,d)>1,意味着(b,d)|p,p不是素数,矛盾
③因为(ab+cd)-(ac+bd)=(a-d)(b-c)>0,所以(ab+cd)>(ac+bd);又因为(ac+bd)-(ad+bc)=(a-b)(c-d)>0,所以ab+cd>ac+bd>ad+bc.
由于ac+bd=(a+b-c+d)(-a+b+c+d),所以a^2-ac+c^2=b^2+bd+d^2.
因此(ac+bd)(b^2+bd+d^2)=ac(b^2+bd+d^2)+bd(a^2-ac+c^2)=acb^2+acd^2+a^2bd+bc^2d
=(ab+cd)(ad+bc),所以(ac+bd)可以被(ab+cd)(ad+bc)整除.
假设ab+cd是一个素数,由于ab+cd>ac+bd>1,所以(ab+cd)与(ac+bd)互素,因此(ac+bd)可以被(ad+bc)整除,与ac+bd>ad+bc矛盾.所以ab+cd是一个合数.
设 a b c d 为整数,a>b>c>d>0,且,ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c).证明 ab+cd
设平面上四点A,B,C,D,求证AB*CD+AD*BC>=AC*BD
对于整数a,b,c,d,符号|a b|表示运算ac-bd.|d c|
设a,b,c满足ab+bc+cd+da=1,求证:a^3/(b+c+d)+b^3/(a+c+d)+c^3/(a+b+d)
a b c d ∈r+ 证明(ad+bc)/bd+(ab+cd)/ac≥4
a>b>c>d>0.a/b=c/d怎么证明a+d>c+b
设a,b,c,d为正整数,并且ab=cd,试问a+b+c+d能不为质数?
设a,b,c,d属于正实数,用柯西不等式证明(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd
已知:a,b,c,d为自然数,且ab=cd,问:a+b+c+d可否为素数
求证(b,c,d)a+(c,a,d)b+(a,b,d)c+(b,a,c)d=0 a,b,c,d皆为向量>
设c为正整数,并且a+b=c,b+c=d,d+a=b,求(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)的最小值
设a,b,c,d为正数,求证(a+c/a+b)+(b+d/b+c)+(c+a/c+d)+(d+b/d+a)≥4