请详细证明椭圆上任意一点P的切线垂直于F1PF2(两焦点和P形成的角)的平分线垂直
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/31 23:07:17
请详细证明椭圆上任意一点P的切线垂直于F1PF2(两焦点和P形成的角)的平分线垂直
证明:
设椭圆方程:
x^2/a^2+y^2/b^2=1
则P点(acosθ,bsinθ)
过P点的法线斜率
k=-dx/dy=-(dx/dθ)/(dy/dθ)=asinθ/(bcosθ)
则设过P点的法线方程
y-bsinθ=k(x-acosθ)=asinθ/(bcosθ)*(x-acosθ)
设过P点的法线与长轴相交于A(x,0),所以
-bsinθ=asinθ/(bcosθ)*(x-acosθ)
得x=c^2*cosθ/a
A点坐标为(c^2*cosθ/a,0)
所以F1A=c^2*cosθ/a+c
PF1=根号((acosθ+c)^2+b^2*(sinθ)^2)=c*cosθ+a
PF1/F1A=(c*cosθ+a)/(c^2*cosθ/a+c)=a/c
设∠F1PF2的平分线交长轴于A',根据角平分线的性质
PF1/PF2=F1A'/A'F2
得PF1/(PF1+PF2)=F1A'/(F1A'+A'F2)
PF1/(2a)=F1A'/(2c)
PF1/F1A'=a/c
综合得:PF1/F1A=PF1/F1A'=a/c
所以A与A'重合
即椭圆上任意一点P的切线垂直于F1PF2(两焦点和P形成的角)的平分线
设椭圆方程:
x^2/a^2+y^2/b^2=1
则P点(acosθ,bsinθ)
过P点的法线斜率
k=-dx/dy=-(dx/dθ)/(dy/dθ)=asinθ/(bcosθ)
则设过P点的法线方程
y-bsinθ=k(x-acosθ)=asinθ/(bcosθ)*(x-acosθ)
设过P点的法线与长轴相交于A(x,0),所以
-bsinθ=asinθ/(bcosθ)*(x-acosθ)
得x=c^2*cosθ/a
A点坐标为(c^2*cosθ/a,0)
所以F1A=c^2*cosθ/a+c
PF1=根号((acosθ+c)^2+b^2*(sinθ)^2)=c*cosθ+a
PF1/F1A=(c*cosθ+a)/(c^2*cosθ/a+c)=a/c
设∠F1PF2的平分线交长轴于A',根据角平分线的性质
PF1/PF2=F1A'/A'F2
得PF1/(PF1+PF2)=F1A'/(F1A'+A'F2)
PF1/(2a)=F1A'/(2c)
PF1/F1A'=a/c
综合得:PF1/F1A=PF1/F1A'=a/c
所以A与A'重合
即椭圆上任意一点P的切线垂直于F1PF2(两焦点和P形成的角)的平分线
请详细证明椭圆上任意一点P的切线垂直于F1PF2(两焦点和P形成的角)的平分线垂直
请详细证明椭圆上任意一点P的切线垂直于F1PF2(两焦点和P形成的角)的平分线垂直
已知P点是椭圆上一点 A,B为两焦点 那么角APB的平分线是否与P点的切线垂直?若垂直,请给予证明,若不,给出理由
已知F1F2是椭圆的两个焦点 p为椭圆上一点 角F1PF2=60
已知椭圆x^2/25+y^2/16=1上一点P与椭圆的两焦点F1 F2的连线互相垂直,求三角形F1PF2的面积
设p是椭圆x²/9+y²/4=1上任意一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,则cos角F1PF2的最小值
关于椭圆的计算!已知椭圆标准方程和两焦点 P使椭圆上一点 角F1PF2=60度 求椭圆离心率的取值范围?
P为椭圆X2/a2+ y2/b2=1上任意一点,它与两个焦点的连线互相垂直,且P到两准线距离分别为6,12,求椭圆方程
在椭圆X^2/25+Y^2/5=1上求一点P,使点P与椭圆两焦点的连线互相垂直
焦点在x轴上的椭圆,p为椭圆上的任意一点,存在∠F1pF2=90°,求离心率e的取值范围
已知P(3,4)是椭圆上的一点,F1.F2是椭圆的两个焦点.若PF1垂直于PF2,求椭圆的方程
已知F是椭圆的左焦点,P是椭圆上的一点,且PF垂直于X轴,(一道椭圆数学题)