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来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/11 15:02:09

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题目：将一块圆心角为120°,半径为20 cm的扇形铁片截成一块矩形,如图,有2种裁法：让矩形一边在扇形的一半径OA上或让矩形一边与弦AB平行.请问哪种裁法能得到最大面积的矩形,并求出这个最大值.【网上其它解答有点看不懂,要过程,尽量写得详细一些,谢谢,好的话定加赏】

(1) 设矩形在OA上的顶点为C,取OC=x,
∵OM=半径=20
∴CM=√(OM²-OC²)=√(400-x²)
∴面积S1=OC*CM=x×√(400-x²)=√x²√(400-x²)≤[(400-x²)+x²]/2=200
即当且仅当x²=400-x²,x=10√2时,S1最大=200
(2) 过作MH⊥OA交于H,取矩形在OA、OB上的顶点为C、D
则OC=OD
∵∠COD=120°
∴∠OCD=∠ODC=30°
∴∠MCH=60°
设MC=2x
则MH=MC*sin60°=√3x CH=MC*cos60°=x
∵OM=半径=20
∴OH=√(OM²-MH²)=√(400-3x²)
∴OC=OH-CH=√(400-3x²)-x
在等腰三角形CDO中,CD=2OCcos∠OCD
=2[√(400-3x²)-x]cos30°=√3[√(400-3x²)-x]
∴面积S=CD*MC=2√3x*[√(400-3x²)-x]
换元法设x=(20sina)/√3 √3x=20sina
S2=40sina[20cosa-(20/√3)sina]
=(400/√3)*[√3sin2a-(1-cos2a)]
=(400/√3)*[√3sin2a+cos2a-1]
=(400/√3)*{2[(√3/2)sin2a+(1/2)cos2a]-1}
=(400/√3)*[2sin(2a+π/6)-1]
可见sin(2a+π/6)=1时 S2最大=400/√3=400√3/3
∵最大值S2=400/√3>400/2=200=S1
∴第二种裁法能得到最大面积的矩形
希望能帮到你,祝学习进步O(∩_∩)O

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