已知三角形ABC,外接圆半径为R,内切圆半径为r,求两圆圆心距离.

已知三角形ABC,外接圆半径为R,内切圆半径为r,求两圆圆心距离.

这是：三角形欧拉公式d²=R²-2rR的推导,如下图所示：\x0d


\x0d设ΔABC的三个顶角分别为A、B、C,内切圆圆心为O,外接圆圆心为P；\x0d推导分三步,\x0d第一步：用余弦定理关注ΔOAP；\x0d第二步：用正弦定理关注ΔOAB；\x0d第三步：证明最终结论.\x0d\x0d第一步：用余弦定理关注ΔOAP：\x0d∠OAP＝|∠OAC－∠PAC|,\x0d而由图易知：∠OAC＝A/2,∠PAC＝(π/2)－B,\x0d∴三角形的外接圆的圆心是其三边中垂线的交点,连接此交点与三顶点的连线,\x0d由此分析其顶角被连线分得的6个角之间一些角的关系,易知：\x0d∠OAP＝|∠OAC－∠PAC|\x0d＝| A/2－((π/2)－B )|\x0d＝| (π/2)－((A/2)＋B)|\x0d＝| (π/2)－(((π－(B＋C))/2)＋B)|\x0d＝| (B－C)/2|\x0d由余弦定理可知,在ΔOAP中有：\x0dcos∠OAP＝(AP²＋AO²－OP²)/(2×AP×AO)——（1）\x0d∵AP＝R、RtΔAOD中AO＝OD/sin(∠OAD/2) ＝r/sin(A/2)、OP=d；\x0d∴将各等量代入等式（1）得：\x0dcos| (B－C)/2|＝(R²＋(r/sin(A/2))²－d²)/(2×R×(r/sin(A/2)))\x0d化简上式,得：\x0dd²＝R²－2rR×(cos((B－C)/2)/sin(A/2))＋(r/sin(A/2))²——（2）\x0d\x0d第二步：用正弦定理关注ΔOAB：\x0d由正弦定理可知,在ΔABC中有：\x0dAB/sinC=2R——（3）\x0d∵在RtΔOAE和RtΔOBE中分别有：\x0dAE＝OE×cot∠OAE＝r×cot(A/2),\x0dEB＝OE×cot∠OBE＝r×cot(B/2),\x0d又∵AB＝AE＋EB\x0d∴将各等量代入等式（3）得：\x0d((r×cot(A/2))＋( r×cot(B/2)))/sinC＝2R\x0d由三角函数的一系列公式,来化简上式：\x0dr/R＝2×sinC/(cot(A/2)＋cot(B/2))\x0d＝2×(2×sin(C/2)×cos(C/2))/((cos(A/2)/sin(A/2))＋(cos(B/2)/sin(B/2)))\x0d＝2×(2×sin(C/2)×cos(C/2) ×sin(A/2)×sin(B/2))/(sin(A/2)×cos(B/2)＋cos(A/2)×sin(B/2))\x0d＝2×(2×sin(A/2)×sin(B/2)×sin(C/2)×cos(C/2))/sin((A＋B)/2)\x0d∵sin((A＋B)/2)＝sin((π－C)/2)＝sin((π/2)－(C/2))＝cos(C/2)\x0d∴2×(2×sin(A/2)×sin(B/2)×sin(C/2)×cos(C/2))/sin((A＋B)/2)\x0d＝2×(2×sin(A/2)×sin(B/2)×sin(C/2)×cos(C/2))/cos(C/2)\x0d＝4×sin(A/2)×sin(B/2)×sin(C/2)\x0d即r/R＝4×sin(A/2)×sin(B/2)×sin(C/2)——（4）\x0d\x0d第三步：证明最终结论\x0d假设等式（2）d²＝R²－2rR×(cos((B－C)/2)/sin(A/2))＋(r/sin(A/2))²中,\x0d－2rR×(cos((B－C)/2)/sin(A/2))＋(r/sin(A/2))²＝－2rR成立,\x0d由三角函数的一系列公式,来化简上式：\x0dr/R＝2×sin(A/2)×(cos((B－C)/2)－sin(A/2))\x0d＝2×sin(A/2)×(cos((B－C)/2)－sin((π－(B＋C))/2))\x0d＝2×sin(A/2)×(cos((B－C)/2)－cos((B＋C)/2))\x0d由和差化积公式,可知\x0d＝2×sin(A/2)×(－2)×sin(B/2)×sin(－C/2)\x0d＝4×sin(A/2)×sin(B/2)×sin(C/2)\x0d\x0d由等式（4）可知－2rR×(cos((B－C)/2)/sin(A/2))＋(r/sin(A/2))²＝－2rR成立,\x0d于是d²＝R²－2rR×(cos((B－C)/2)/sin(A/2))＋(r/sin(A/2))²＝R²－2rR\x0d即d²＝R²－2rR,则d＝√(R²－2rR)\x0d\x0d于是得到最终的结论,即三角形欧拉公式的内容为：\x0d任意三角形的内切圆半径为r,外接圆半径为R,两圆圆心距为d,则有d²＝R²－2rR