如图,在平面直角坐标系xOy,正方形AOBC的顶点C的坐标为（1,1）,过点B的直线MN与OC平行,AC的延长线交MN于

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/14 03:20:29

如图,在平面直角坐标系xOy,正方形AOBC的顶点C的坐标为（1,1）,过点B的直线MN与OC平行,AC的延长线交MN于点D,点P是直线MN上的一个人动点,CQ∥OP交MN于点Q.
（1）求直线MN的函数解析式；
（2）当点P在x轴的上方时,求证：△OBP≌△CDQ；
（3）当四边形OPCQ为菱形是,是求出点P的坐标.

⑴易知OC是正比例函数y＝x的图象
∵OC∥MN
∴∠OEB＝∠AOC＝45°
∴OE＝OB＝1
∴E点坐标为(0,－1)
故直线MN的函数解析式为：y＝x－1
⑵∵OC∥PQ,OP∥CQ
∴四边形OPQC是平行四边形
∴OP＝CQ,PQ＝OC
∵PQ∥OC
∴∠CDB＝∠ACO＝45°
∴CD＝CB＝OB
∵CD∥OB
∴四边形OBDC是平行四边形
∴BD＝OC
∴BD＝PQ
∴BP＝DQ
∵OP＝CQ,OB＝CD
∴△OBP≌△CDQ
⑶当四边形OPQC是菱形时,OP＝OC＝√2
过点P作PF⊥x轴于点F,设PF＝m
∴BF＝PF＝m
在Rt△OPF中,OP^2＝OF^2＋PF^2
∴(√2)^2＝(1＋m)^2＋m^2
解得：m＝(√3＋1)/2或m＝(√3－1)/2
由于m＝PF＜OP
∴m＝(√3－1)/2
∴OF＝m＋1＝(√3－1)/2＋1＝(√3＋1)/2
∴P点坐标为：(√3/2＋1/2,√3/2－1/2)