已知平面直角坐标系中两定点A（-1，0）、B（4，0），抛物线y=ax2+bx-2（a≠0）过点A，B，顶点为C，点P（

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/21 16:25:55

已知平面直角坐标系中两定点A（-1，0）、B（4，0），抛物线y=ax²+bx-2（a≠0）过点A，B，顶点为C，点P（m，n）（n＜0）为抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；
（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围；
（3）若m＞

（1）∵抛物线y=ax²+bx-2（a≠0）过点A，B，
∴

a−b−2＝0
16a+4b−2＝0，
解得：

a＝
1
2
b＝−
3
2，
∴抛物线的解析式为：y=
1
2x²-
3
2x-2；
∵y=
1
2x²-
3
2x-2=
1
2（x-
3
2）²-
25
8，
∴C（
3
2，-
25
8）．

（2）如图1，以AB为直径作圆M，则抛物线在圆内的部分，能使∠APB为钝角，
∴M（
3
2，0），⊙M的半径=
5
2．

∵P是抛物线与y轴的交点，
∴OP=2，
∴MP=
OP2+OM2=
5
2，
∴P在⊙M上，
∴P的对称点（3，-2），
∴当-1＜m＜0或3＜m＜4时，∠APB为钝角．

（3）存在；
抛物线向左或向右平移，因为AB、P′C′是定值，所以A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短，只要AC′+BP′最小；
第一种情况：抛物线向右平移，AC′+BP′＞AC+BP，
第二种情况：向左平移，如图2所示，由（2）可知P（3，-2），

又∵C（
3
2，-
25
8）
∴C'（
3
2-t，-
25
8），P'（3-t，-2），
∵AB=5，
∴P″（-2-t，-2），
要使AC′+BP′最短，只要AC′+AP″最短即可，
点C′关于x轴的对称点C″（
3
2-t，
25
8），
设直线P″C″的解析式为：y=kx+b，

−2＝(−2−t)k+b

25
8＝(
3
2−t)k+b，
解得

k＝
41
28
b＝
41
28t+
13
14
∴直线y=
41
28x+
41
28t+
13
14，
点A在直线上，
∴-
41
28+
41
28t+
13
14=0
∴t=
15
41．
故将抛物线向左平移
15
41个单位连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短．