作业帮已知函数f（x）=（x+1）e-x（e为自然对数的底数）．
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：综合作业 时间：2024/05/15 15:03:27
已知函数f（x）=（x+1）e-x（e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设函数φ（x）=xf（x）+tf′（x）+e-x，存在x1，x2∈[0，1]，使得成立2φ（x1）＜φ（x2）成立，求实数t的取值范围．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设函数φ（x）=xf（x）+tf′（x）+e-x，存在x1，x2∈[0，1]，使得成立2φ（x1）＜φ（x2）成立，求实数t的取值范围．
（Ⅰ）∵函数的定义域为R，f′(x)＝−
x
ex，
∴当x＜0时，f′（x）＞0，当x＞0时，f′（x）＜0．
∴f（x）在（-∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减．
（Ⅱ）假设存在x1，x2∈[0，1]，使得2φ（x1）＜φ（x2）成立，
则2[φ（x）]min＜[φ（x）]max．
∵φ(x)＝xf(x)+tf′(x)+e−x＝
x2+(1−t)x+1
ex，
∴φ′（x）=
−[x2−(1+t)x+t]
ex=-
(x−t)(x−1)
ex，
①当t≥1时，φ′（x）≤0，φ（x）在[0，1]上单调递减，
∴2φ（1）＜φ（0），即t＞3−
e
2＞1；
②当t≤0时，φ′（x）＞0，φ（x）在[0，1]上单调递增，
∴2φ（0）＜φ（1），即t＜3-2e＜0；
③当0＜t＜1时，在x∈[0，t]，φ′（x）＜0，φ（x）在[0，t]上单调递减
在x∈（t，1]，φ′（x）＞0，φ（x）在[t，1]上单调递增
所以2φ（t）＜max{φ（0），φ（1）}，
即2
t+1
et＜max{1，
3−t
e}--（*）
由（Ⅰ）知，g(t)＝2
t+1
et在[0，1]上单调递减，
故
4
e≤2
t+1
et≤2，
而
2
e≤
3−t
e≤
3
e，所以不等式（*）无解
综上所述，存在t∈(−∞，3−2e)∪(3−
e
2，+∞)，使得命题成立．
x
ex，
∴当x＜0时，f′（x）＞0，当x＞0时，f′（x）＜0．
∴f（x）在（-∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减．
（Ⅱ）假设存在x1，x2∈[0，1]，使得2φ（x1）＜φ（x2）成立，
则2[φ（x）]min＜[φ（x）]max．
∵φ(x)＝xf(x)+tf′(x)+e−x＝
x2+(1−t)x+1
ex，
∴φ′（x）=
−[x2−(1+t)x+t]
ex=-
(x−t)(x−1)
ex，
①当t≥1时，φ′（x）≤0，φ（x）在[0，1]上单调递减，
∴2φ（1）＜φ（0），即t＞3−
e
2＞1；
②当t≤0时，φ′（x）＞0，φ（x）在[0，1]上单调递增，
∴2φ（0）＜φ（1），即t＜3-2e＜0；
③当0＜t＜1时，在x∈[0，t]，φ′（x）＜0，φ（x）在[0，t]上单调递减
在x∈（t，1]，φ′（x）＞0，φ（x）在[t，1]上单调递增
所以2φ（t）＜max{φ（0），φ（1）}，
即2
t+1
et＜max{1，
3−t
e}--（*）
由（Ⅰ）知，g(t)＝2
t+1
et在[0，1]上单调递减，
故
4
e≤2
t+1
et≤2，
而
2
e≤
3−t
e≤
3
e，所以不等式（*）无解
综上所述，存在t∈(−∞，3−2e)∪(3−
e
2，+∞)，使得命题成立．
已知函数f（x）=（x+1）e-x（e为自然对数的底数）．
已知函数f（x）=ex-x（e为自然对数的底数）
已知函数f（x）=x-1+aex（a∈R，e为自然对数的底数）．
已知函数f(x)=(2x+a)*e^x（e为自然对数的底数）
设函数f（x）=ex-x（e为自然对数的底数）．
已知函数f(x)=e^x-ax（e为自然对数的底数）,求函数的单调区间.
已知函数f（x）=ex-ax（e为自然对数的底数）
已知函数f（x）=ex-ax-1（a＞0,e为自然对数的底数）．
已知函数f（x）=ex-ax-1（a＞0，e为自然对数的底数）．
已知函数f（x）=（2x+1）ex（e为自然对数的底数）
已知函数f（x）=（ax2-2x+1）•e-x（a∈R，e为自然对数的底数）．
已知a属于R,函数f(x)=a/x+lnx-1,g(x)=(lnx-1)e^x+x(其中e为自然对数的底数）