已知函数f（x）=ex-ax-1（a＞0，e为自然对数的底数）．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/11 00:08:49

已知函数f（x）=e^x-ax-1（a＞0，e为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；
（3）在（2）的条件下，证明：(

)

（1）由题意a＞0，f′（x）=e^x-a，
由f′（x）=e^x-a=0得x=lna．
当x∈（-∞，lna）时，f′（x）＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0．
∴f（x）在（-∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增．
即f（x）在x=lna处取得极小值，且为最小值，其最小值为f（lna）=e^lna-alna-1=a-alna-1．（5分）
（2）f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，即在x∈R上，f（x）_min≥0．
由（1），设g（a）=a-alna-1，所以g（a）≥0．
由g′（a）=1-lna-1=-lna=0得a=1．
∴g（a）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，
∴g（a）在a=1处取得最大值，而g（1）=0．
因此g（a）≥0的解为a=1，∴a=1．（9分）
（3）证明：由（2）知，对任意实数x均有e^x-x-1≥0，即1+x≤e^x．
令x＝−
k
n（n∈N^*，k=0，1，2，3，…，n-1），则0＜1−
k
n≤e−
k
n．
∴(1−
k
n)n≤(e−
k
n)n＝e−k．
∴(
1
n)n+(
2
n)n+…+(
n−1
n)n+(
n
n)n≤e−(n−1)+e−(n−2)+…+e−2+e−1+1
=
1−e−n
1−e−1＜
1
1−e−1＝
e
e−1．（14分）

已知函数f（x）=ex-ax-1（a＞0,e为自然对数的底数）．已知函数f（x）=ex-ax-1（a＞0，e为自然对数的底数）．（2014•邢台一模）已知实数a＞0，函数f（x）=ex-ax-1（e为自然对数的底数）．已知函数f（x）=ex-ax（e为自然对数的底数）已知函数f（x）=ex-ax-1（a＞0,e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若f（x）≥0对（2014•石家庄二模）已知函数f（x）=ex-ax-1（a∈R），其中e为自然对数的底数．已知函数f（x）=ex-ax-1（a＞0,e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的最小值；（已知函数g（x）=ex-1-ax，a∈R，e是自然对数的底数．已知函数f（x）=ex-x（e为自然对数的底数）（2014•重庆三模）已知函数f（x）=ex-ax-1（e为自然对数的底数）．设函数f（x）=ex-x（e为自然对数的底数）．（2014•青岛二模）已知函数f（x）=ex+ax，g（x）=ax-lnx，其中a＜0，e为自然对数的底数．