作业帮设A为m*n型矩阵,B为m*k型矩阵,证明A(T)x=0的解都是B(T)x=0的解的充要条件是B列向量组可由A列向量组线
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/21 13:57:03
设A为m*n型矩阵,B为m*k型矩阵,证明A(T)x=0的解都是B(T)x=0的解的充要条件是B列向量组可由A列向量组线性表示
本人大一,这是前几年学校线性代数的考试题,苦思不得其解,各位大神帮忙求解,有追加的.
本人大一,这是前几年学校线性代数的考试题,苦思不得其解,各位大神帮忙求解,有追加的.
证明: 必要性
因为 A^Tx=0的解都是B^Tx=0的解
所以 A^Tx=0 与 [A^T;B^T]x=0 同解 -- [A^T;B^T]是上下两块
所以 r(A^T) = r([A^T;B^T])
故 r(A) = r(A,B)
所以 B的列向量都可由A的列向量线性表示.
充分性
由已知, B的列向量都可由A的列向量线性表示
所以存在矩阵K满足 B=AK
所以 B^T = K^TA^T
若η是A^Tx=0的解, 则 A^Tη=0.
所以 B^Tη = K^TA^Tη = 0
即η也是B^Tx=0的解.
故 A^Tx=0的解都是B^Tx=0的解.
有疑问请追问, 写明哪一步
因为 A^Tx=0的解都是B^Tx=0的解
所以 A^Tx=0 与 [A^T;B^T]x=0 同解 -- [A^T;B^T]是上下两块
所以 r(A^T) = r([A^T;B^T])
故 r(A) = r(A,B)
所以 B的列向量都可由A的列向量线性表示.
充分性
由已知, B的列向量都可由A的列向量线性表示
所以存在矩阵K满足 B=AK
所以 B^T = K^TA^T
若η是A^Tx=0的解, 则 A^Tη=0.
所以 B^Tη = K^TA^Tη = 0
即η也是B^Tx=0的解.
故 A^Tx=0的解都是B^Tx=0的解.
有疑问请追问, 写明哪一步
设A为m*n型矩阵,B为m*k型矩阵,证明A(T)x=0的解都是B(T)x=0的解的充要条件是B列向量组可由A列向量组线
证明设A为s×m矩阵,B为m×n矩阵,X为n维未知列向量,证明齐次线性方程组ABX=0与BX=0同解的充要条件是
设A为m*n矩阵,B为n*s矩阵,证明:AB=0的充要条件是B的每个列向量均为齐次线性方程组AX=0的解.
设A和B分别是n*m型和m*n型矩阵,C=AB为可逆阵,证明：B的列向量组线性无关
设A是m*n矩阵,B是n*s矩阵,x是列向量,证明：AB=O的充分必要条件是B的每一列都是齐次线性方程组AX=O的解
线性代数的一道证明题设A为m*n矩阵,B为n*s矩阵,X为s维列向量,证r(AB)=r(B)是否是线性方程组ABX=0与
设:A为n*m型矩阵,B为m*n型矩阵,I为n阶单位矩阵,若AB=I,证明B的列向量组线性无关.
设A和B分别是n×m型和m×n型矩阵,C=AB为可逆阵,证明：B的列向量线性无关
设A是a x m矩阵,B是m x n矩阵,n小于m,E是n介单位阵,若AB=E,证明B的列向量组线性无关.
设A为m×n矩阵,B为n×s矩阵,已知A的列向量组线性无关,证明:B与AB有相同的秩
设A,B为两个n维列向量,(A^T)B不等于0,矩阵C=A(B^T),
向量组证明问题设A,B分别为m*r,r*n阶矩阵,且AB=0,求证(1)B的各列向量是齐次线性方程组AX=0的解(2)若