在三角形ABC内任意一点p向三边做垂线分别为PD,PE,PF证明(PA+PB+PC)大于等于2(PD+PE+PF)

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/07 23:40:26

证明：
设P是ΔABC内任意一点,P到ΔABC三边BC,CA,AB的距离分别为PD=p,PE=q,PF=r,记PA=x,PB=y,PC=z.则 x+y+z≥2*(p+q+r)
证明如下：
因为P,E,A,F四点共圆,PA为直径,则有:EF=PA*sinA.
在ΔPEF中,据余弦定理得:
EF^2
=q^2+r^2-2*q*r*cos(π-A)
=q^2+r^2-2*q*r*cos(B+C)
=(q*sinC+r*sinB)^2-(q*cosC-r*cosB)^2
≥(q*sinC+r*sinB)^2,
所以有 PA*sinA≥q*sinC+r*sinB,
即
PA=x≥q*(simC/sinA)+r*(sinB/sinA) (1).
同理可得:
PB=y≥r*(sinA/sinB)+p*(sinC/sinB) (2),
PC=z≥p*(sinB/sinC)+q*(sinA/sinC) (3).
(1)+(2)+(3)得:
x+y+z
≥p*(sinB/sinC+sinC/sinB)+q*(simC/sinA+sinA/sinC)+r*(sinA/sinB+sinB/sinA)
≥2*(p+q+r).
命题成立.
此题是一定理,题目和证明过程都有收藏价值,希望能掌握并灵活运用.

在三角形ABC内任意一点p向三边做垂线分别为PD,PE,PF证明(PA+PB+PC)大于等于2(PD+PE+PF) 正三角形ABC内任意一点P,向三边作垂线PD、PE、PF,连接PA、PB、PC 已知P为边长为2的等边三角形中任意一点连接PA PB PC 过P点分别做三边的垂线求PD+PE+PF 已知等边三角形ABC的高是5cm,三角形内任意一点P向三边作垂线段PD、PE、PF,求PD+PE+PF的长在等边△ABC中,P为三角形内任意一点,过P作PD⊥BC,PE⊥AB,PF⊥AC,连结PA、PB、PC, p是等边三角形abc内任意一点,由p向三边bc、ac、ab分别引垂线段pd、pe、pf,求证pd＋pe＋pf为定值已知p是等边△ABC内任意一点,过点P分别向三边做垂线,垂足分别为点D.E.F,试证明PD+PE+PF是不变的值. 边长为2的正三角形内P为任意一点,连接PA、PB、PC,过P点做PD、PE、PF垂直于三边,PDPEPF距离和与阴影面积边长为a的正三角形ABC内一点P,分别向三条边作垂线得到PD,PE,PF,三角形的高为h, 如图,已知P是等边△ABC内任意一点,过点P分别向三边作垂线,垂足分别为D,E,F.求证：PD+PE+PF是不变的值已知等边三角形的边长为6,p是三角形ABC内任意一点,PD//AB,PE//BC,PF//AC.求证PD+PE+PF值不在边长为2的正三角形ABC中,已知点P是三角形内任意一点,则点P到三角形的三边距离之和PD+PE+PF等于多少?