设实数a,b使方程x4+ax3+bx²+ax+1=0有实根,求a²+b²的最小值.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/15 09:55:21

显然x=0时方程有1=0,矛盾
表明x≠0
将方程两边同时除以x^2
则(x^2+1/x^2)+a(x+1/x)+b=0
即(x+1/x)^2+a(x+1/x)+b-2=0
因x有解,则x+1/x有解
则⊿=a^2-4(b-2)≥0
即a^2≥4b-8
所以a^2+b^2
≥b^2+4b-8
=(b+2)^2-12
≥-12
即(a^2+b^2)min=-12
再问：可是答案是4/5啊
再答： ≤-2是有问题。首先一个低级错误就是a^2+b^2本身是个非负数，最小值不可能是负数更正如下：显然x=0时方程有1=0，矛盾表明x≠0 将方程两边同时除以x^2 则(x^2+1/x^2)+a(x+1/x)+b=0 即(x+1/x)^2+a(x+1/x)+b-2=0 令y=x+1/x 则上述方程为y^2+ay+(b-2)=0（I）令方程（I）的解为m、n（可能相等可能不相等）当x>0时由基本不等式知y=x+1/x≥2 即m≥2，n≥2 由韦达定理有 m+n=-a mn=b-2 即有a=-(m+n) b=mn+2 所以a^2+b^2 =(m+n)^2+(mn+2)^2 =m^2+2mn+n^2+(mn)^2+4mn+4 =(n^2+1)m^2+(6n)m+(n^2+4) 令f(m)=(n^2+1)m^2+(6n)m+(n^2+4)（m≥2）因对称轴m=-3n/(n^2+1)0（注意到n≤-2）则当m≤-2时f(m)min=f(-2)=5n^2-12n+8=5(n-6/5)^2+4/5 而因n≤-2 则n-6/5≤-16/5 于是有(n-6/5)^2≥256/25 即有f(m)min≥52 综上知a^2+b^2≥52

设实数a,b使方程x4+ax3+bx²+ax+1=0有实根,求a²+b²的最小值. 设实数a,b使方程x4+ax3+bx2+ax+1=0 有实根,求a2+b2的最小值设实数a、b使方程x4+ax3+bx2+ax+1=0，求a2+b2的最小值．高一数学必修一设实数a、b使方程x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0,求a^2+b^2的最小值. 已知关于x的方程X^4+ax^3+bx^2+ax+1=0有实根（a,b为实数）,求a^2+b^2的最小值 a,b都为正实数.方程x平方+ax+2b=0和x平方+2bx+a=0都有实根.求a+b的最小值设a,b,c为实数,求证方程4ax^3+3bx^2+2cx=a+b+c在(0,1)内至少有一实根设a,b为实数,且方程ax的平方+bx+1=0的两个不同的正数根都小于1,.求a的最小值已知a,b都是实数,且方程x²＋ax－4b＝O与方程x²＋4bx－a＝0都有实根,求a＋b最大值已知a,b是不全为0的实数,证明：方程3ax^2+2bx-(a+b)=0在(0,1)内至少有一个实根. 设a,b是正整数且方程x^2+ax+2b=0和x^2+2bx+a=0均有实根则a+b的最小值可能是方程x2+ax+2b=0和方程x2-2bx+a=0都有实根,则a+b的最小值是___