1、E、F分别为任意四边形ABCD的边AD、BC的中点,则EF小于等于1/2（AB+CD）,为什么?

1、E、F分别为任意四边形ABCD的边AD、BC的中点,则EF小于等于1/2（AB+CD）,为什么?
2、梯形两底长分别为6CM和4CM,求两对角线中点的距离为多少?为什么?
3、等腰梯形的两条对角线互相垂直,则梯形高H=梯形中位线M,为什么?
4、梯形ABCD中,AB//CD,角B=90度,AB=9,BC=8,CD=7,M为AD中点,MN垂直AD交BC于N,求BN长（过程）.
答你会的

1.连结BD,取BD中点O,连结EO,FO,
在△ABD中,O是BD中点,E是AD中点,所以OE=1/2*AB;
在△BCD中,O是BD中点,F是BC中点,所以OF=1/2*CD;
当AD与BC平等时,    显然有O在EF上,此时有   OE+OF=EF,
当AD与BC不平行时,O不在EF上,则OEF能构成三角形,
则在△OEF中,必有OE+OF＞EF
∴EF≤OE+OF
即EF≤1/2*(AB+CD)
2.设梯形ABCD,AB平行于CD,AB=6,CD=4,EF分别为对角线AC,BD的中点,求EF之长
设AC,BD相交于点O,
∵AB平行于CD
∴△ABO∽△CDO
    CO    CD      4     2
∴——=——= — = —
    OA    AB      6     3
∴OA=3/5*AC,
又EA=1/2*AC,
∴OE=OA-EA=1/10*AC,
    OE    1/10*AC      1
∴——= ———— = —
    OA      3/5*AC      6
同理有
 OF      1
——= —
 OB      6
    OE    OF
∴——=——, ∴△AEF∽△OAB
    OA    OB
    EF    OE      1
∴——=——= —
    AB    OA      6
∴EF=1/6*AB=1为所求
3.设梯形ABCD,AB平行于CD,AD=BC,AC⊥BD于O,
由等腰梯形的对称性,可设OA=OB=a,OC=OD=b,
∴等腰Rt△OAB中,AB=a√2
   等腰Rt△OCD中,CD=b√2
∴中位线M=(AB+CD)/2=(a+b)(√2)/2      ① 
下面求梯形的高H,
一方面,梯形面积
 S(梯形)
=(AB+CD)*H/2
=H*(a+b)(√2)/2,
另一方面,
 S(梯形)
=S(△ABC)+S(△ADC)
=1/2*AC*OB+1/2*AC*OD
=1/2*AC*BD
=1/2*(a+b)^2
因此,有:
H*(a+b)(√2)/2=1/2*(a+b)^2
∴H=(a+b)/√2=(a+b)(√2)/2               ②
由①②,有:H=M
证毕.
4.延长MN交AB延长线于P
作DE⊥AB于E,则由条件有∠AED=∠AMP=90度,
显然∠A=∠A,∴△AED∽△AMP
    AD     AE
∴——=——
    AP     AM
下面求AE,AD,AM.
显然四边形BCDE构成矩形,∴DE=BC=8;
BE=CD=7,∴AE=AB-BE=9-7=2;                              ①
                                 ___________    ______       ___
在Rt△AED中,AD= √(AE^2+ED^2) =√(4+64)=2√17      ②
又M是AD中点     ___
∴AM=1/2*AD=√17___   ___                               ③
          AD*AM     2√17*√17
∴AP= ——— = ————— =17
             AE               2
∴BP=AP-AB=17-9=8
∵Rt△NBP∽Rt△AMP∽Rt△AED
    BN     BP
∴——=——
    AE     DE
           BP*AE     8*2
∴BN= ——— = —— =2为所求.
             DE          8