作业帮已知函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足f（0）=0,对于任意x∈R都有f（x）≥x,且 ,令g（x）=f（x）
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/16 07:47:41
已知函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足f（0）=0,对于任意x∈R都有f（x）≥x,且 ,令g（x）=f（x）-|λx-1|（λ＞0）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求函数g（x）的单调区间；
（3）研究函数g（x）在区间（0,1）上的零点个数
对于任意x∈R都有f（x）≥x,
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求函数g（x）的单调区间；
（3）研究函数g（x）在区间（0,1）上的零点个数
对于任意x∈R都有f（x）≥x,
已知函数f(x)=ax²+bx+c （a≠0）满足f(0)=0,对于任意x∈R都有f(x)≥x,且f(-1/2+x)=f(-1/2-x),令g(x)=f(x)－|λx－1| （λ>0）
（1）求函数f(x)的表达式；
（2）求函数g(x)的单调区间；
（3）研究函数g(x)在区间 (0,1)上的零点个数.
（1）因为f(0)=0,所以c=0.
因为f(-1/2+x)=f(-1/2－x)对任意x∈R成立,对称轴为-1/2,
即-b/(2a)=-1/2,a=b.
设h(x)=f(x)-x,则h(x)=a*x^2+(b-1)x
f(x)≥x恒成立,即h(x)≥0恒成立,从而h(x)的判别式Δ≤0,即(b-1)^2≤0,所以b=1.
故f(x)=x^2+x.
（2）令|λx－1|=0得：x=1/λ.因为λ>0,所以1/λ>0>-(1+λ)/2.
当x1/λ,g(x)在区间(1/λ,(λ-1)/2]内单调递减；在区间((λ-1)/2,+∞)内单调递增.
（3）当x≤1/λ时,g(x)=[x+(1+λ)/2]^2-1-(1+λ)^2/4；
因为g(1/λ)=f(1/λ)=1/λ^2+1/λ>0,
g(-(1+λ)/2)=-1-(1+λ)^2/4
（1）求函数f(x)的表达式；
（2）求函数g(x)的单调区间；
（3）研究函数g(x)在区间 (0,1)上的零点个数.
（1）因为f(0)=0,所以c=0.
因为f(-1/2+x)=f(-1/2－x)对任意x∈R成立,对称轴为-1/2,
即-b/(2a)=-1/2,a=b.
设h(x)=f(x)-x,则h(x)=a*x^2+(b-1)x
f(x)≥x恒成立,即h(x)≥0恒成立,从而h(x)的判别式Δ≤0,即(b-1)^2≤0,所以b=1.
故f(x)=x^2+x.
（2）令|λx－1|=0得：x=1/λ.因为λ>0,所以1/λ>0>-(1+λ)/2.
当x1/λ,g(x)在区间(1/λ,(λ-1)/2]内单调递减；在区间((λ-1)/2,+∞)内单调递增.
（3）当x≤1/λ时,g(x)=[x+(1+λ)/2]^2-1-(1+λ)^2/4；
因为g(1/λ)=f(1/λ)=1/λ^2+1/λ>0,
g(-(1+λ)/2)=-1-(1+λ)^2/4
已知函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足f（0）=0,对于任意x∈R都有f（x）≥x,且 ,令g（x）=f（x）
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