在平面直角坐标系xoy中,已知以O为圆心的圆与直线l：y=mx+(3-4m)(m∈R)恒有公共点,且要求使圆O的面积最小

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/12 20:43:28

在平面直角坐标系xoy中,已知以O为圆心的圆与直线l：y=mx+(3-4m)(m∈R)恒有公共点,且要求使圆O的面积最小
1）写出圆O的方程
2）已知定点Q（-4,3）,直线L与圆O交于M、N两点,试判断向量QM*向量QN*tan∠MQN是否有最大值,若存在求出最大值,并求出此时直线L的方程,若不存在,
3）圆O与X轴相交于A,B两点,园内动点P使向量PA,向量PO,向量PB成等比数列,求向量PA向量PB的范围.
是求PA和PB的积的范围

(1)设所求圆半径为r,为使与直线l恒有公共点,只须圆心O到直线l的距离不少于r,即r≥|3-4m|／√（m^+1)
可得r^2×(m^2+1)≥（3－4m)^2,即（r＾2-16)m^2+24m+r^-9≥0,
故Δ=(24)^2-4×(r^2-16)(r^2-9)≤0,解得 r^2≥25.取r的最小值5.
圆O 的方程为：x^2+y^2=25
(2)注意到直线l过定点(4,3)设为点M,圆O的直径2r=10,
设y=(向量QM）（向量QN）*tan∠MQN＝｜QM｜｜QN｜cos∠MQN*tan∠MQN
=8*｜QN｜*sin∠MQN=8*|QN|*(|QN|／2r)=8|QN|^2／10
当且仅当QN为直径时y 取得最大值80,这时点N（－4,－3）,直线l 即MN的方程为:3x-4y=0
(3)这个问题是否有误?向量与向量之间的运算关系只有加减和相乘（内积或外积）.若这三个向量的模成等比,则｜PO｜＾2＝｜PA｜｜PB｜
设P（x,y),由于A（5,0）、B（－5,0）,得x^2+y^2=(5－x,-y)(-5-x,-y)
化简0＝－25,不合理.