对于任意正整数n有证明绝对值（sin nx）小等于n*绝对值（sin x)

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/10 12:54:07

两个函数
f(x)=|Sin[nx]|和
g(x)=n*|Sin[x]|
的最小正周期为π,和π/n,
取周期的公倍数π作为其共有的周期,不一定是最小正周期.
只要一个周期内正确,则整个实数范围内皆正确.
于是只证明-π/2～π/2范围内就可以了.
再考虑到函数是偶函数,
所以只需要证明0～π/2范围内就可以了.
下面分情况讨论:
情况I:
x=0时,显然
f(0)=g(0)=0,命题成立.
情况II:
f(π)=g(π)=0,命题成立.
情况III:
当x∈(0,π/(2n)]时,
f(x)=|Sin[nx]|
=Sin[nx]
=Sin[nx]-Sin[(n-1)x]+Sin[(n-1)x]-Sin[(n-2)x]+...+Sin[2x]-Sin[x]+Sin[x]
=(Sin[nx]-Sin[(n-1)x])+(Sin[(n-1)x]-Sin[(n-2)x])+...+(Sin[2x]-Sin[x])+Sin[x]
考虑到正弦函数y=Sin[nx]在x∈(0,π/(2n)]范围内为增函数,函数值始终大于0,斜率随着x的增大而减小.
所以
(Sin[nx]-Sin[(n-1)x])≤Sin[x]-Sin[0].
即
(Sin[nx]-Sin[(n-1)x])≤Sin[x],
同理有:
(Sin[(n-1)x]-Sin[(n-2)x])≤Sin[x],
(Sin[(n-2)x]-Sin[(n-3)x])≤Sin[x],
...
(Sin[2x]-Sin[x])≤Sin[x],
Sin[x]≤Sin[x],
于是左右分别相加得.
Sin[nx]π/(2n),所以g(x)>g(π/(2n))
g(x)>n*Sin[π/(2n)],
仿照情况III的证明过程可以证明
n*Sin[π/(2n)]≥Sin[n*π/(2n)],即
n*Sin[π/(2n)]≥Sin[π/2],所以
n*Sin[π/(2n)]≥1.
f(x)≤1,g(x)≥1,
所以f(x)≤g(x).
根据偶函数的对称性可以证明-π/2～π/2范围内,命题仍然成立.
于是在一个周期内证明了命题成立.
于是命题成立.

对于任意正整数n有证明绝对值（sin nx）小等于n*绝对值（sin x) 请用数学归纳法证明对任意正整数n有|sin(nx)|=n|sinx| 证明：|sin nx|《n|sin x| 怎么证明∑（sin nx）/n 条件收敛,而∑（sin nx)/n!绝对收敛一道微积分证明题……求救啊积分上限π/2,下限0 函数是f（x）绝对值sin nx n趋向正无穷还有一个是上限和下限证明∫sin^nx/(sin^nx+cos^nx)dx在0~π/2积分恒为pi/4其中n为正整数 ∫ sin(mx)cos(nx) 怎么等于1/2 ∫ [sin(m+n)x + sin(m-n)x] dx 数学归纳法的证明题用数学归纳法证明：1 sin x+2 sin 2x+…+n sin nx=sin[(n+1)x]/4s 用数学归纳法证明 │sin nx│≤n│sin x│ ,n属于N 设集合M={Y=绝对值（cos^x-sin^x),x属于R},N={绝对值（x/i）求一道极限题目的解法sin（nx）除以n 对一切实数x都成立用夹逼法证明用数学归纳法证明：sinx+sin2x+sin3x+……+sinnx=[sin(nx/2)sin((n+1)x/2)]/

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