如图，已知放在同一平面上的两个正三棱锥P-ABD、S-BCD（底面是正三角形且顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心）的

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/15 08:49:34

如图，已知放在同一平面上的两个正三棱锥P-ABD、S-BCD（底面是正三角形且顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心）的侧棱长都相等．若AB=6，二面角P-BD-S的余弦值为

（Ⅰ）

分别作出两个正三棱锥的高PN、SM，连接AC交BD于O，连接OP、OS
∵△ADB与△BCD都是正三角形
∴四边形ABCD是菱形且∠BCD=60°，可得AC、DB互相垂直平分
∵△PBD中，PB=PD，O为BD中点
∴PO⊥BD，
同理，SO⊥BD，可得∠POS为二面角P-BD-S的平面角
∵ON=
1
3OA，OM=
1
3OC∴MN=
1
3AC
∵四边形ABCD是菱形且∠BCD=60°，
∴AC=
3AB=6
3⇒MN=
1
3AC=2
3
∵正三棱锥P-ABD、S-BCD是两个全等的三棱锥
∴两条高PN、SM平行且相等
可得四边形PSMN是矩形，所以PS=MN=2
3
∵两个正三棱锥的侧棱长都相等
∴等腰三角形OPS中，根据余弦定理得：cos∠POS=
OP2+OS2-PS2
2•OP•OS=
1
3
可得OP=OS=3
∵Rt△POB中，OB=
1
2AB=3
∴PB=
OB2+OP2=3
2
在△PDB中，PB²+PD²=36=BD²
∴∠BPD=90°⇒BP⊥PD
同理可得：BP⊥PA，结合PA∩PD=P
∴PB⊥平面PAD
（Ⅱ）由（I）得PA=PB=3
2，AN=

如图，已知放在同一平面上的两个正三棱锥P-ABD、S-BCD（底面是正三角形且顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心）的正三棱锥（底面是正三角形,顶点在底面上的射影是底面的中心的棱锥）的侧棱长是是底面边长的K倍. "底面是正三角形,且顶点在底面上的射影是底面的中心的棱锥的正三棱锥"的等价命题在正三棱锥P-ABC(顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中,AB=4,PA=8, 正三棱锥（底面为正三角形,且顶点在底面射影为正三角形的中心的三棱锥）的高为1 侧棱长为2的正三棱锥（底面为正三角形、顶点在底面上的射影为底面的中心的三棱锥）其底面周长为9，则棱锥的高为______．一个棱锥的底面是边长为6的正三角形,顶点在底面上的射影恰好是底面正三角形的中心,侧棱长为根号15 在正三棱锥 P—ABC（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中,AB=4 ,PA=8,过A作与PB,PC分别交于D和E 已知正三棱锥(底面是正多边形,顶点在底面的射影为底面中心)的侧面积为已知正四棱锥(底面为正方形顶点在底面的射影是底面中心）（2012•松江区三模）正三棱锥V-ABC（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，D，E，F分别是VC，VA，AC的我们规定,如果一个棱锥的底面是正三角形,顶点在底面的投影是底面三角形中心,这样的棱锥叫正三棱锥