设A为n阶矩阵,证明A^n=0的充要条件是A^(n+1)=0

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/07 23:49:59

应该说就是证明两阵的秩同,思路就是假设有一个x使A^(n+1)x=0且A^nx!=0,可构造n+1个线性无关的n维向量,矛盾,所以A^(n+1)x=0的解都是A^nx=0的解；明显A^nx=0的解都是A^(n+1)x=0的解.
所以同解,所以同秩.
再问：但还得证明秩为零才能得到这两个矩阵为零呀
再答：

正规答案。怎么证明秩为零，你是不是不理解秩是什么啊，这里从头到尾哪里有说秩为0了。N+1个N维线性相关这个是正确的（数学上就类似4个不同的三元一次方程一定有非0解这个意思），其实也就是原题中的A^n*sigema！=0这个假设，就是反正假设不成立嘛。唯一难理解估计就是这个吧

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