作业帮求:一道关于导数的数学题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/24 15:36:51
求:一道关于导数的数学题
f(x)=1+(1+x)+(1+x)^2+(1+x)^3+…+(1+x)^n ,则f′(x)=
f(x)=1+(1+x)+(1+x)^2+(1+x)^3+…+(1+x)^n ,则f′(x)=
f'(x)=1(1+x)^0+2(1+x)^1+3(1+x)^2+4(1+x)^3+……+n(1+x)^(n-1)
1,2,3,……,n是等差数列.
(1+x)^0,(1+x)^1,……(1+x)^(n-1)是等比数列.
所以考虑用错位相减……
(1+x)f'(x)=1(1+x)^1+2(1+x)^2+……+(n-1)(1+x)^(n-1)+n(1+x)^n
两式相减
[1-(1+x)]f'(x)=(1+x)^0+(1+x)^1+……+(1+x)^(n-1)-n(1+x)^n（等比数列求和）
=[1-(1+x)^n]/[1-(1+x)]-n(1+x)^n
=[(1+x)^n-1]/x-n(1+x)^n
所以
f'(x)=[1-(1+x)^n]/(x^2)+[n(1+x)^n]/x
1,2,3,……,n是等差数列.
(1+x)^0,(1+x)^1,……(1+x)^(n-1)是等比数列.
所以考虑用错位相减……
(1+x)f'(x)=1(1+x)^1+2(1+x)^2+……+(n-1)(1+x)^(n-1)+n(1+x)^n
两式相减
[1-(1+x)]f'(x)=(1+x)^0+(1+x)^1+……+(1+x)^(n-1)-n(1+x)^n（等比数列求和）
=[1-(1+x)^n]/[1-(1+x)]-n(1+x)^n
=[(1+x)^n-1]/x-n(1+x)^n
所以
f'(x)=[1-(1+x)^n]/(x^2)+[n(1+x)^n]/x