用导数的定义证明:(a^x)'=a^x·lna
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/14 02:01:48
用导数的定义证明:(a^x)'=a^x·lna
y=a^x,
⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)
⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x
如果直接令⊿x→0,是不能导出导函数的,必须设一个辅助的函数β=a^⊿x-1通过换元进行计算.由设的辅助函数可以知道:⊿x=loga(1+β).
所以(a^⊿x-1)/⊿x=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β
显然,当⊿x→0时,β也是趋向于0的.而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna.
把这个结果代入lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0a^x(a^⊿x-1)/⊿x后得到lim⊿x→0⊿y/⊿x=a^xlna.
可以知道,当a=e时有y=e^x y'=e^x.
这里有很多关于导数的由来:
很有耐心啊你!
⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)
⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x
如果直接令⊿x→0,是不能导出导函数的,必须设一个辅助的函数β=a^⊿x-1通过换元进行计算.由设的辅助函数可以知道:⊿x=loga(1+β).
所以(a^⊿x-1)/⊿x=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β
显然,当⊿x→0时,β也是趋向于0的.而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna.
把这个结果代入lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0a^x(a^⊿x-1)/⊿x后得到lim⊿x→0⊿y/⊿x=a^xlna.
可以知道,当a=e时有y=e^x y'=e^x.
这里有很多关于导数的由来:
很有耐心啊你!
用导数的定义证明:(a^x)'=a^x·lna
a^x/lna的导数
用极限定义证明:x趋近0时[loga^(1+x)]/x的极限为1/lna(a>0,=1)
【F(X)=a的X次方-X*Lna】的导数怎么求
求y=a^x的导数是y=a^x *lna的推导过程
基本初等导数公式的推导f(x)=log(a*x)则f'(x)=1/(x.lna)
用积分上限函数∫(1→x)1/tdt定义对数函数lnx(x>0),试证明:ln(ab)=lna+lnb(a>0,...
导数公式怎么算出来的a^x)'=(a^x)*lna -----(a>0,a不等于1)(e^x)'=e^x(loga(x)
请问求函数导数y′=(a^-x)′=a^(-x)lna*(-x)′,后面的(-x)′对-x求导是怎么一回事?
指数函数的导数公式f(x)=a的x次方*lna(a>0),为什么没有a不等于1?.急!谢了.
导数公式怎么算出来?a^x)'=(a^x)*lna -----(a>0,a不等于1)(e^x)'=e^x(loga(x)
(a^x)'=a^x*lna这一个,