24、如图,在等腰梯形ABCD中,∠C=60°,AD∥BC,且AD=DC． E,F分别在AD,DC的延长线上,且DE=C

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/06 16:53:44

24、如图,在等腰梯形ABCD中,∠C=60°,AD∥BC,且AD=DC． E,F分别在AD,DC的延长线上,且DE=CF、AF,BE交于点P,且分别交DC,BC于点H,G．
（1）求证：AF=BE；
（2）请你猜测∠BPF的度数,并证明你的结论；
（3）延长BA,CD相交于M,若AD=24,BP=27,试求三角形MBP和三角形MBH的面积比．

（1）∵AB=CD,AD=DC,
∴BA=AD,∠BAE=∠ADF,
∵DE=CF,
∴AE=DF,
∴△BAE≌△ADF（SAS）．
∴BE=AF．（3分）
（2）猜测∠BPF=120°．（1分）
∵由（1）△BAE≌△ADF,
∴∠ABE=∠DAF．
∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAE．
而AD∥BC,∠C=∠ABC=60°,
∴∠BPF=120°．（3分）
（3）延长BA,CD交于点M,则△MBC为正三角形．
∵∠BPF=120°,
∴∠APB=∠M=60°．
而∠ABP=∠HBM,
∴△ABP∽△HBM．
∴ ABHB=BPBM,即 24HB=2748．
∴ HB=1283
则S△MBP：S△MBH=BP：BH=81：128．（5分）