（2010•沈阳）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+c与x轴正半轴交于点F（16，0），与y轴正半轴交于点E

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/13 06:59:40

（2010•沈阳）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+c与x轴正半轴交于点F（16，0），与y轴正半轴交于点E（0，16），边长为16的正方形ABCD的顶点D与原点O重合，顶点A与点E重合，顶点C与点F重合．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图2，若正方形ABCD在平面内运动，并且边BC所在的直线始终与x轴垂直，抛物线始终与边AB交于点P且同时与边CD交于点Q（运动时，点P不与A，B两点重合，点Q不与C，D两点重合）．设点A的坐标为（m，n）（m＞0）．
①当PO=PF时，分别求出点P和点Q的坐标；
②在①的基础上，当正方形ABCD左右平移时，请直接写出m的取值范围；
③当n=7时，是否存在m的值使点P为AB边的中点？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．

（1）由抛物线y=ax²+c经过点E（0，16），F（16，0）得：

0＝162a+c
16＝c
解得

a＝−
1
16
c＝16，（3分）
∴y＝−
1
16x2+16．（4分）

（2）①过点P做PG⊥x轴于点G，
∵PO=PF，
∴OG=FG，
∵F（16，0），
∴OF=16，
∴OG=
1
2×OF=
1
2×16=8，
即P点的横坐标为8，
∵P点在抛物线上，
∵m＞0，
∴y=−
1
16×82+16＝12，
即P点的纵坐标为12，
∴P（8，12），（6分）
∵P点的纵坐标为12，正方形ABCD边长是16，
∴Q点的纵坐标为-4，
∵Q点在抛物线上，
∴−4＝−
1
16x2+16，
∴x1＝8
5，x2＝−8
5，