如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+c与x轴正半轴交于点F（4,0）,与y轴正半轴交于点E（0,4）辺长为4的

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/06/07 15:49:27

如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+c与x轴正半轴交于点F（4,0）,与y轴正半轴交于点E（0,4）辺长为4的正方形ABCD的顶点D与原点O重合,顶点A与点E重合,顶点C与点F重合．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图2,若正方形ABCD在平面内运动,并且边BC所在的直线始终与x轴垂直,抛物线始终与边AB交于点P且同时与边CD交于点Q.设点A的坐标为（m,n）
①当PO=PF时,分别求出点P和点Q的坐标；及PF所在直线的函数解析式
②当n=2时,若P为AB中点求m值（3）若点B在第（2）①中的PF所在直线在运动,且正方形ABCD与抛物线有两个交点.求m的取值范围

将（0,4）和（4,0）分别代入y=ax²+c中,解得到的方程组,求得a=-1/4,c=4
所以：抛物线的函数表达式为y=-(1/4)x²+4
（2）、从图中可看出,直线AB的方程为y=n,直线DC的方程为y=n-4,且,Q点横坐标减去P点横坐标小于或等于4.
所以：P点横坐标可求,n=-(1/4)x²+4,x=2√(4-n),即P( 2√(4-n),n）这里n≤4
Q点横坐标可求,n-4=-(1/4)x²+4,即x=2√(8-n),即Q（2√(8-n),n-4）这里n≤8
综上有：P( 2√(4-n),n）、Q（2√(8-n),n-4）其中n≤4
根据题意有：[2√(4-n)]²+n²=[2√(8-n)]²+(n-4)²
解得：n=4
所以：P(0,4),Q(4,0),即P点和A点重合,都在y轴上,Q点和C重合,都在x轴上.
所以：PQ所在的直线方程是y=-x+4
对于抛物线y=-(1/4)x²+4来说,当y=n=2时,x=2√2 （x＜0的舍去）
即：AB的中点P(2√2,2）