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关于微分疑问我们知道：Δy=A（x）Δx+ο（Δx） 前者是线性部分,后者是高阶无穷小量.我的问题是：比如有y=√x,那

来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/24 00:46:34
关于微分疑问
我们知道：Δy=A（x）Δx+ο（Δx） 前者是线性部分,后者是高阶无穷小量.
我的问题是：比如有y=√x,那么所谓的高阶无穷小量在哪?
并且我发现,从几何上观察（图像是往上凸）此时的线性部分变化的速度快于非线性部分,那么这样的微分还有其意义吗?
Δy=A（x）Δx+ο（Δx） 前者是线性部分,后者是高阶无穷小量.这里的点x作为常量看,A(x)也是常量,所以在Δx 趋于0时,A（x）Δx与Δx是同阶无穷小,而oΔx=Δy-A（x）Δx是比Δx更高阶的无穷小.注意这里Δx不是任意的值,只有Δx的绝对值小于某一个值（这个值也许非常小）时,oΔx才会比Δx小.
例如：y=√x,x=1,A（x）=1/2,当Δx=0.1时,Δy=√1.1-√1≈0.049,A（x）Δx=0.1/2=0.05,ο（Δx）=0.001
随着Δx变得更小,ο（Δx）就更是微不足道了.再强调一下,A（x）Δx与ο（Δx）是在Δx趋于0的过程中来比较的.在微分三角形中,应在Δx足够小的时候来研究.
这样说能理解吧.祝你在探索中不断进步,一帆风顺!
再问： 其实我遇到的具体问题是这样的：

我注意到比如有S=x^2 ΔS=2x Δx+Δx^2 ，此时关于ΔX的线性部分，和高阶无穷小都很清楚。

那么我就在想，如果S=√x，那么ΔS=？ 似乎写不出线性部分和高阶部分，如果不能写出，怎么知道他有高阶部分？
再答： S=√x，那么ΔS=√(x+Δx)-√X=Δx/(√(x+Δx)+√X),
S'=1/（2√x），A（x）Δx=Δx/（2√x）这就是线性部分，
可见在Δx足够小时，两者之差（即高阶部分）就更小了。
很欣赏你这种探索精神。
再问： 由于字数原因，请看我的图片

再答： 你这样作很正确。
另外α（Δx）=√(1+Δx)-1-ΔX/2=[1+Δx/2+o(ΔX）]-1-ΔX/2=o(ΔX）
[ ]内是用泰勒展式，不知你学了没有。也可利用微分的近似计算，就只有前两项，结果为0，说明α（Δx）如到一阶无穷小为0，即它是比一阶（Δx）更高阶的无穷小量。
关于微分疑问我们知道：Δy=A（x）Δx+ο（Δx） 前者是线性部分,后者是高阶无穷小量.我的问题是：比如有y=√x,那 线性微分的一般表达式是y'+p（x）y=q（x）,那对P（x）和q（x）有什么限制吗,y'的系数只能是1吗 下列函数中,当X→0时,与无穷小量X相比是高阶无穷小量的是________ A,sinx B,x+x² C,√ 1.f(x)=sin|x|是有界函数 2.设X和Y分别是同一变化过程中的两个无穷大量,则X-Y是无穷小量 y=(x-1)/(x的3方+1)求当x趋向何值时,函数为无穷小量? 当x趋于0时,无穷小量√（x+三次根号下√（x)）的等价无穷小量 微分和导数是什么关系微分的定义是Δy=AΔx+o（Δx）取其中主部AΔx，又有定义dy=f（x）dx；那么应该有AΔx= 求x=y^y的微分 求：y=cos√x是由?复合而成当x→0时,与sin²x为等价无穷小量的是?∫ d arcsin√x=? 一道 微积分 题当x→0时,无穷小量 u=tanx与无穷小量 v=x之间的关系是?A.u是v比高阶的无穷小量 B.u是比 高数-微分题微分方程xy′=2y有一个解是（）A．y=2x B.y=2x^2+1 C.y=5x^2 D.y=5x^3 农科高数,证明当x趋近于3,y=(x-3)/x无穷小量.刚刚上...听不懂...