作业帮已知f（x）=lnx+x2-bx．
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/13 21:14:27
已知f（x）=lnx+x2-bx．
（1）若函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（2）当b=-1时，设g（x）=f（x）-2x2，求证函数g（x）只有一个零点．
（1）若函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（2）当b=-1时，设g（x）=f（x）-2x2，求证函数g（x）只有一个零点．
（1）∵f（x）在（0，+∞）上递增，
∴f′（x）=
1
x+2x-b≥0，对x∈（0，+∞）恒成立，即b≤
1
x+2x对x∈（0，+∞）恒成立，
∴只需b≤（
1
x+2x）min （x＞0），
∵x＞0，
∴
1
x+2x≥2
2，当且仅当x=
2
2时取“=”，∴b≤2
2，
∴b的取值范围为（-∞，2
2]．
（2）证明：当b=-1时，g（x）=f（x）-2x2=lnx-x2+x，其定义域是（0，+∞），
∴g′（x）=
1
x-2x+1=-
2x2−x−1
x，
令g′（x）=0，∵x＞0，∴x=1，
当0＜x＜1时，g′（x）＞0；当x＞1时，g′（x）＜0，
∴函数g（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，
∴当x≠1时，g（x）＜g（1），即g（x）＜0，当x=1时，g（x）=0．
∴函数g（x）只有一个零点．
∴f′（x）=
1
x+2x-b≥0，对x∈（0，+∞）恒成立，即b≤
1
x+2x对x∈（0，+∞）恒成立，
∴只需b≤（
1
x+2x）min （x＞0），
∵x＞0，
∴
1
x+2x≥2
2，当且仅当x=
2
2时取“=”，∴b≤2
2，
∴b的取值范围为（-∞，2
2]．
（2）证明：当b=-1时，g（x）=f（x）-2x2=lnx-x2+x，其定义域是（0，+∞），
∴g′（x）=
1
x-2x+1=-
2x2−x−1
x，
令g′（x）=0，∵x＞0，∴x=1，
当0＜x＜1时，g′（x）＞0；当x＞1时，g′（x）＜0，
∴函数g（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，
∴当x≠1时，g（x）＜g（1），即g（x）＜0，当x=1时，g（x）=0．
∴函数g（x）只有一个零点．