如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm．沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/10 08:40:15

如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm．沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC₁D₁和△BC₂D₂两个三角形（如图2所示）．将纸片△AC₁D₁沿直线D₂B（AB）方向平移（点A、D₁、D₂、B始终在同一直线上），当点A与点B重合时，停止平移．设平移的速度是1cm/秒，平移的时间为x（秒），△AC₁D₁与△BC₂D₂重叠部分面积为y（cm²）．

（1）求CD的长和斜边上的高CH；
（2）在平移过程中（如图3），设C₁D₁与BC₂交于点E，AC₁与C₂D₂、BC₂分别交于点F、P．那么四边形FD₂D₁E是否可能是菱形？为什么？如果可能，请求出相应的D₁E=D₂F的值；
（3）请写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值范围；
（4）是否存在这样的x的值，使重叠部分面积为3cm²？若存在，求出相应的x的值；若不存在，请说明理由．

（1）∵∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm，
∴在直角三角形ABC中，由勾股定理，得
AB=10．
∵D是AB的中点，
∴CD=
1
2AB=5．
∵
1
2AC•BC=
1
2AB•CH，
∴
1
2×6×8=
1
2×10CH，
∴CH=4.8；

（2）可能，当D₂F=D₂D₁时，四边形FD₂D₁E是菱形．
∵C₁D₁∥C₂D₂，
∴∠C₁=∠AFD₂．
∵∠ACB=90°，CD是斜边上的中线，
∴DC=DA=DB，即C₁D₁=C₂D₂=BD₂=AD₁，
∴∠C1=∠A，
∴∠AFD₂=∠A，
∴AD₂=D₂F，同理：BD₁=D₁E，
∴AD₂=BD₁，
∴D₁E=D₂F，
∵D₁E∥D₂F，
∴四边形FD₂D₁E是平行四边形．
∵D₂F=D₂D₁，
∴平行四边形FD₂D₁E是菱形．
∵AD₂=x，
∴D₂D₁=5-x，
∴x=5-x，
∴x=2.5，
∴D₁E=D₂F=2.5；

（3）如图3，当0≤x≤5时，
∵D₂D₁=x
∴D₁E=BD₁=D₂F=AD₂=5-x，
∴C₂F=C₁E=x．
∵在△ABC中，sin∠CDB=
CH
CD＝
24
25，
∴sin∠ED₁B=
24
25．
设△BED₁的BD₁边上的高为h，
∴h=
24(5−x)
25，
∴S_△BD1E=
1
2×BD₁×h=
12
25(5−x)2．
∵∠C₁+∠C₂=90°，
∴∠FPC₂=90°．
∵∠C₂=∠B，
∴sin∠B=
4
5，cos∠B=
3
5，
∴PC₂=
3
5x，PF=
4
5x，

∴S_△FC2P=
1
2PC2×PF=
6
25x²．
∴y=S_△D2C2B-S_△BD1E-
1
2S_△ABC-
12
25(5−x)2-=
6
25x²，
∴y=-
18
25x²+
24
5x；
如图4，当5＜x≤10时，
∵D₂D₁=x，BD₂=AD₁=5，
∴BD₁=x-5，
∴AB=5-（x-5）=10-x．

∵sin∠PBA=
PA
AB=
4
5，cos∠PBA=
PB
AB=
3
5，
∴PA=
4
5(10−x)，PB=
3
5（10-x），
∴y=
1
2×PA×PB=
1
2×
4
5(10−x)×
3
5（10-x），
y=
6
25（10-x）²．
综上可得：y=

−
18
25x2+
4
25x(0≤x≤5)

6
25(10−x)2(5＜x≤10)
（4）当0≤x≤5时，
-
18
25x²+
24
5x=3，
解得：x₁=
20+5
10
6＞5（舍去），x₂=
20−5
10
6；
当5＜x≤10时，

6
25（10-x）²=3，
解得：x₁=10+
5
2
2＞10（舍去），x₂=10-
5
2
2；
∴当x=
20−5
10
6或x=10-
5
2
2时，重叠部分的面积等于3．